Задание для самостоятельной работы.
Найти интегралы:
Задача 7. .
Задача 8. .
Задача 9. .
Задача 10. .
Указание. Подынтегральную функцию представить в виде суммы многочлена и правильной дроби (см. задачу 2). Правильную дробь разложить на множители, используя метод неопределенных коэффициентов, проинтегрировать.
Задача 11. Найти интеграл: .
Указание. а) знаменатель разложить на множители (разность кубов);
б) используя метод неопределенных коэффициентов, получить два интеграла 1 и 3 типов;
в) проинтегрировать по алгоритму.
Задача 12. Найти интеграл: .
Найти интегралы, используя метод неопределенных коэффициентов:
Задача 13. .
Задача 14. .
Задача 15. .
Занятие №7. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
Цель занятия: усвоить новые учебные элементы на уровне знаний и умений применять на практике при решении типовой задачи.
Учебные вопросы
1. Интегрирование выражений вида:
.
2. Интегрирование выражений вида:
.
Ход занятия
Краткая информация о новых учебных элементах
1) .
Показатель степени косинуса нечетное положительное число. В этом случае подынтегральное выражение преобразовываем так: из выделяем первую степень косинуса и получаем:
,
т.к. , то, заменив , получим
Применив подстановку, получим интеграл:
,
и решение сведется к интегрированию суммы степенных функций.
|
|
2) .
В этом случае показатель степени синуса нечетное положительное число.
Из выделяем первую степень синуса и получаем:
.
Интеграл запишется так:
,
и вопрос опять-таки сведется к интегрированию суммы степенных функций.
3) целое, .
При нахождении данных интегралов применяются формулы понижения степени, которые позволяют привести рассматриваемые интегралы к табличным:
; (1)
. (2)
4) где действительные числа.
Для нахождения данных интегралов, подынтегральные функции заменяем, используя формулы произведений тригонометрических функций:
; (3)
; (4)
. (5)
Задача 1. Вычислить интегралы:
1) ;
2) ;
3) .
Решение. 1) .
Представим .
.
2) .
В подынтегральной функции выделим первую степень косинуса, тогда:
.
3) .
Применим формулу понижения степени :
.
Задача 2. Найти интегралы:
1) ;
2) ;
3) .
Задача 3. Найти интегралы:
|
|
1) ;
2) .
Решение. Эти примеры решаются так же, как и примеры 1), 2) задачи 1. У функции, которая под интегралом находится в нечетной степени, выделяем первую степень и применяем указанный выше прием.
1) .
;
.
2) .
;
.
Задача 4. Найти интегралы:
1) ;
2) ;
3) .
Задача 5. Найти интегралы:
а) , б) .
Решение. а) .
Используем формулу (5):
.
Замечание. , т.к. косинус – функция четная;
, т.к. синус – функция нечетная.
б) .
.
Задача 6. Найти интегралы:
1) ;
2) .
Задание для самостоятельной работы
Задача 7. Найти интегралы:
1) ;
2) ;
3) .
Задача 8. Найти интегралы:
1) ;
2) .
Задача 9. Найти интегралы:
1) ;
2) ;
3) .
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 295; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!