Задание для самостоятельной работы. Задача 4. Найти интегралы (повторение):
Задача 4. Найти интегралы (повторение):
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Задача 5. Найти интегралы (по частям):
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Задача 6. Выбрать способ интегрирования и найти интегралы:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
.
Занятие №4. Метод интегрирования по частям (продолжение)
Цель занятия: закрепить навыки нахождения неопределенных интегралов методами подстановки и интегрирования по частям.
Учебные вопросы
1. Интегрирование по частям и заменой переменной.
Задача 1. Найти устно интегралы (повторение):
Задача 2. Найти интегралы, используя подстановку:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Задача 3. Найти интегралы, используя метод интегрирования по частям:
1) 
;
2) 
.
Задача 4. Найти интеграл: 
.
Решение. Решение сводится к двукратному применению интегрирования по частям:
.
В правой части получили исходный интеграл.
Перенесем его в левую часть, получим:
;
.
Задача 5. Решить по образцу задачи 4:
.
Задание для самостоятельной работы
Задача 6. Найти интегралы:
1) 
;
2) 
.
Задача 7. Найти интегралы:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Указание. В примере 4 за и принять 
. В случае затруднения обратиться к преподавателю.
Задача 8. Найти интегралы:
1) 
;
2) 
.
Задача 9. Определить метод интегрирования, найти интегралы:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
Занятие №5. Интегрирование рациональных дробей
Цель занятия: усвоить новые учебные элементы на уровне знаний и умений решить типовые задачи.
|
|
|
Учебные вопросы
1. Интегрирование рациональных дробей 1, 2, 3 типов.
Ход занятия
Краткая информация о новых учебных элементах
Интегрирование рациональных дробей 
приводится к интегрированию простейших дробей четырех типов:
1. 
; (1)
2. 
; (2)
3. 
, (3)
где 
, т.е. знаменатель дроби имеет мнимые корни;
4. 
, (4)
где .
Для вычисления интегралов 3 типа используется следующий алгоритм:
1) В числителе дроби создать производную знаменателя:
;
.
2) Разбить интеграл на сумму двух интегралов:
.
3) В первом интеграле приходим к натуральному логарифму знаменателя. В знаменателе дроби второго интеграла выделяем полный квадрат и приходим к табличному интегралу.
Выделение полного квадрата: 
.
Задача 1. Найти интегралы от рациональных дробей 1 типа:
Задача 2. Самостоятельно найти интегралы от рациональных дробей 1 типа:
|
|
|
Задача 3. Найти интегралы от рациональных дробей второго типа:
Задача 4. Найти интегралы от рациональных дробей 2 типа, используя формулу (2):
.
Как можно найти интегралы 1, 2 типа, не используя формул (1), (2)?
Рассмотрим нахождение интеграла 3 типа .
Предварительно найдем интеграл 
, используя формулу выделения полного квадрата в знаменателе.
Задача 5. Найти интеграл: 
.
Решение. 
.
Для нахождения таких интегралов нам придется пользоваться формулами
,
либо
.
1. Выделим полный квадрат в знаменателе дроби:
.
.
2. Подставим в интеграл и применим формулу:
.
Задача 6. Найти интеграл: 
.
Решение. 
, 
.
Решаем по алгоритму нахождения интеграла от рациональных дробей 3 типа:
1) В числителе строим производную знаменателя:
;
.
2) Разобьем интеграл на сумму двух интегралов:
.
3) Находим первый интеграл:
.
4) Находим второй интеграл (по образцу задачи 5).
Выделим полный квадрат в знаменателе:
.
.
Тогда из 3), 4) следует:
.
Задача 7. Решить по образцу:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 392; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!