Применение одношаговых методов для решения обыкновенных



Дифференциальных уравнений высоких порядков

 

Преобразуем дифференциальное уравнение (7.1) n-го порядка к системе n дифференциальных уравнений 1-го порядка

    (7.16)

Запись уравнения (7.1) в виде системы (7.16) называется формой Коши. Начальные условия (7.1') при таком преобразовании выглядят так:

z1(x0)=z1,0 ; z2(x0)=z2,0 ; z3(x0)=z3,0 ; . . . ; zn(x0)=zn,0 ; (7.16’)

 

 

Для примера преобразуем к форме Коши уравнение Бесселя :

 .

Обозначим искомую функцию y(x) через z1(x), а ее первую производную - z2(x). Тогда получим систему уравнений первого порядка, эквивалентную исходному уравнению:               

 

Вычислительный алгоритм "усовершенствованного" метода Эйлера для задачи Коши (7.16,7.16') выглядит аналогично (7.8):

  (7.17)

где i=1,2,...,n ;  ; k=1,2,...,n .

Вычислительный алгоритм "модифицированного" метода Эйлера для задачи Коши (7.16,7.16') выглядит аналогично (7.12):

  (7.18)

где i=1,2,...,n ;  ;   k=1,2,...,n .

Вычислительная схема метода Рунге-Кутта четвертого порядка для задачи Коши (7.16,7.16') имеет вид:

 , (7.19)

 

где K i,0 = h fi(xm, z 1,m, z 2,m,..., z n,m),
  K i,1 = h fi(xm+0.5h, z 1,m+0.5K1,0, z 2,m+0.5K2,0,..., z n,m+0.5Kn,0), 
  K i,2 = h fi(xm+0.5h, z 1,m+0.5K1,1, z 2,m+0.5K2,1,..., z n,m+0.5Kn,1),
  K i,3 = h fi(xm+h, z 1,m+K1,2, z 2,m+K2,2,..., z n,m+Kn,2);
  i=1,2,...,n.

 

Аналогичным образом обобщается на случай системы уравнений и схема (7.14) Кутта-Мерсона.

 

Общая характеристика одношаговых методов

 

Всем одношаговым методам присущи определенные общие черты:

1) Чтобы получить информацию в новой точке, надо иметь данные лишь в одной предыдущей точке. Это свойство можно назвать "самостартованием", поэтому одношаговые методы в литературе иногда называются самостартующими.

2) В основе всех одношаговых методов лежит разложение функции в ряд Тейлора, в котором сохраняются члены, содержащие h в степени до k включительно. Целое число k называется порядком метода. Погрешность на шаге имеет порядок k+1.

3) Все одношаговые методы не требуют действительного вычисления производных - вычисляется лишь сама функция, однако могут понадобиться ее значения в нескольких промежуточных точках. Это влечет за собой дополнительные затраты времени и усилий.

4) Свойство "самостартования" позволяет легко менять величину шага интегрирования h.

Методы прогноза и коррекции

Эти методы в отличие от рассмотренных выше являются многоступенчатыми. Алгоритмы таких методов основываются на аппроксимации интерполяционными полиномами либо правой части обыкновенного дифференциального уравнения f(x,y), либо интегральной кривой y=y(x). Ниже рассматриваются два таких метода: метод Адамса и метод Гира.

Метод Адамса

Суть метода Адамса состоит в следующем: одним из одношаговых методов, например, методом Рунге-Кутта четвертого порядка строится искомая интегральная кривая y=y(x) в нескольких точках x1,x2,...,xn, а затем к ним применяются методы аппроксимации для получения решений в новых точках, лежащих как внутри промежутка [x1,xn] - (интерполяция), так и за его пределами (экстраполяция).

Рассмотрим четырехточечный вариант метода Адамса для задачи Коши (7.2),(7.2').

С помощью любого из одношаговых методов вычислим решения y1,y2,y3 заданного уравнения в точках x1,x2,x3. Правая часть (7.2) - функция f(x,y) на интегральной кривой, соответствующей начальному условию (x0,y0), будет, очевидно, функцией только одного аргумента x: f(x,y) = f(x, y(x)) = f(x), значения которой в рассматриваемых точках обозначим f0, f1, f2, f3 (f0 - значение f(x,y) в точке (x0,y0), заданной начальными условиями (7.2’)). В окрестности узлов x0,x1,x2,x3 функцию f(x) приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона

f(x)= f0+ f01(x-x0)+f012(x-x0)(x-x1)+f0123(x-x0)(x-x1)(x-x2), (7.20)

где f01, f012, f0123 - разделенные разности.

Представим искомое решение y4 в точке x4=x3+h в виде тейлоровского разложения около точки x3:

,   (7.21)

где - производные по x от правой части исходного уравнения в точке x3.

Дифференцируя полином (7.20) получим выражения для производных:

(x)= f01+f012(x-x0+x-x1)+f0123[(x-x0)(x-x1)+(x-x0)(x-x2)+ (x-x1) (x-x2)]= = f01+f012(2x-x0-x1)+f0123[3x2-2x(x0+x1+x2)+ x0x1+x0x2+x1x2];
(x)=   2f012+2f0123(3x-x0-x1-x2);
(x)=   6f0123.

Эти соотношения при x=x3 в случае равноотстоящих узлов принимяют вид:

=(2f0+9f1-18f2+119f3) / h ;  
=(-f0+4f1-5f2+2f3) / h2 ;   (7.22)
=(-f0+3f1-3f2+f3) / h3 .  

Подставляя производные (7.22) в разложение (7.21) получим экстраполяционную формулу Адамса:

  (7.23)

имеющую четвертый порядок точности.

Изменяя количество членов, учитываемых в разложении (7.21), можно получить фор­мулы Адамса различных порядков.

Остаточный член формулы (7.23) равен

.

Значительная величина коэффициента ( ) в этом остаточном члене обусловлена тем, что точка x4 лежит вне интервала расположения узлов, по которым построен полином Ньютона. Т.е. здесь мы имеем дело с экстраполяцией, погрешность которой всегда больше, чем погрешность интерполяции. С целью уменьшения погрешности можно получить аналогичным способом, но для узлов x1,x2,x3,x4 интерполяционную формулу Адамса :

  (7.24)

Эта формула является неявной, т.к. искомая величина y4 необходима для вычисления значения функции f4=f(x4,y4) правой части дифференциального уравнения. Выражение (7.24) можно рассматривать как нелинейное уравнение относительно неизвестной y4 и решать его одним из методов решения трансцендентных уравнений. Обычно здесь используется метод простых итераций, т.к. уравнение (7.24) уже имеет необходимую для этого метода форму . При этом в качестве начального приближения берется зна­чение y4, определенное по экстраполяционной формуле (7.23).

Формулу (7.23) называют формулой прогноза, а формулу (7.24) - формулой коррекции.

Эти две формулы без труда переносятся на дифференциальные уравнения высоких порядков, записанные в форме Коши.

Метод Гира

Одним из одношаговых методов получим решения y1,y2,y3 задачи Коши (7.2,7.2’) в точках x1,x2,x3. В окрестности узлов x0,x1,x2,x3,x4 искомое решение y(x) приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона четвертой степени:

y(x)= + y0+y01(x-x0)+y012(x-x0)(x-x1)+ y0123(x-x0)(x-x1)(x-x2)+y01234(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3),   (7.25)

где y01, y012, y0123, y01234 - разделенные разности порядков с первого по четвертый.

Левую часть уравнения (7.2), т.е. производную y’(x), приближенно найдем путем дифференцирования по x полинома (7.25):

y’(x)= + - y01+y012(2x-x0-x1)+y0123[3x2-2x(x0+x1+x2)+ x0x1+x0x2+x1x2]+ y01234[4x3-3x2(x0+x1+x2)+2x(x0x1+x0x2+x0x3+x1x2+x1x3+x2x3)- x0x1x2-x0x1x3-x0x2x3-x1x2x3];   (7.26)

Разделенные разности для равноотстоящих узлов выражаются через узловые значения аппроксимируемой функции:

y01 =(y1-y0) / h,  
y012 =(y2-2y1+y0) / (2h2), (7.27)
y0123 =(y3-3y2+3y1- y0) / (6h3),  
y01234 =(y4-4y3+6y2-4y1+y0) / (24h4).  

Полагая в (7.26) x=x4 и учитывая (7.27), получим:

y’(x4)=(3y0-16y1+36y2-48y3+25y4) / (12h). (7.28)

C другой стороны, исходное дифференциальное уравнение (7.2) при x=x4 принимает вид:

y’(x4)=f(x4,y4). (7.29)

Приравнивая правые части (7.28) и (7.29), находим:

y4=[3(4hf(x4,y4)-y0)+16y1-36y2+48y3] / 25. (7.30)

Формула (7.30) представляет собой неявную схему Гира четвертого порядка для решения задачи Коши (7.2,7.2’). Выражение (7.30) есть уравнение относительно y4, для решения которого можно применить метод простых итераций. Начальное приближение к y4 можно получить из следующих соображений. Полагая в выражении (7.26) x=x3, имеем:

y’(x3)=(-y0+6y1-18y2+10y3-y4) / (12h). (7.31)

Приравнивая правые части (7.2) при x=x3 и выражения (7.31), получим так называемую схему прогноза

y4=4hf(x3,y3)+(y0-10y3)/3-2y1+6y2, (7.32)

которую и можно использовать в качестве начального приближения для решения уравнения (7.30).


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 261;