Дифференциальное уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение называют уравнением Бернулли, если оно имеет вид

, (1.6)

причём, в выражении (1.6) требуем, чтобы не равнялось 0 или 1, так как при этих значениях уравнение (1.6) есть линейное уравнение. Заметим, что в случае >0 сразу выделяется одно из решений уравнения =0.

Известно, что при помощи подстановки уравнение Бернулли превращается в линейное уравнение:

Применив стандартный алгоритм решения линейного уравнения, находят функцию . Затем из равенства находят решение исходного уравнения.

Пример 1.5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли ∙ .

Решение. 1) Заданное дифференциальное уравнение есть уравнение Бернулли для случая = . Функция является его решением.

2) Считая , перепишем заданное уравнение в виде . Применив подстановку = , , получаем линейное дифференциальное уравнение , где и .

3) Полагая , перепишем заданное уравнение = .

4) Потребуем, чтобы . Это уравнение с разделяющимися переменными. Его частное решение = , или = .

5) Теперь, интегрируя уравнение , получаем = + = + .

6) Таким образом, = ∙ . Так как = , получаем решение заданного уравнения = ∙ .

Ответ. = · , .

Задание 1.5. Решить уравнение Бернулли.

Вар.	Уравнение:	Вар.	Уравнение:
1.5.1.	.	1.5.16.	.
1.5.2.	.	1.5.17.	.
1.5.3.	.	1.5.18.	.
1.5.4.	.	1.5.19.	.
1.5.5.	.	1.5.20.	.
1.5.6.	.	1.5.21.	.
1.5.7.	.	1.5.22.	.
1.5.8.	.	1.5.23.	.
1.5.9.	.	1.5.24.	.
1.5.10.	.	1.5.25.	.
1.5.11.	.	1.5.26.	.
1.5.12.	.	1.5.27.	.
1.5.13.	.	1.5.28.	.
1.5.14.	.	1.5.29.	.
1.5.15.	.	1.5.30.	.

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Если для дифференциального уравнения выполнено условие = , его называют уравнением в полных дифференциалах: в этом случае существует функция , для которой выражение является ее полным дифференциалом. Так как полный дифференциал функции имеет вид , то должны выполняться равенства и . Если функция найдена, то равенство = , где − произвольная постоянная величина, задает семейство решений дифференциального уравнения в полных дифференциалах.

Для нахождения функции используют стандартный алгоритм, который иллюстрирует приведённый ниже пример.

Пример 1.6. Решить уравнение , предварительно удостоверившись, что заданное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Решение. 1) Вычислим производные =3 и =3. Равенство = подтверждено, это значит, что заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

2) Учитывая, что , вычислим = + . В нашем случае имеем:

= + = + . (1.7)

3) Вычислим производную = – . В нашем случае, учитывая заданное уравнением выражение и (1.7), получаем = .

4) Интегрируя, находим функцию = = .

5) Подставляя в (1.7), записываем общее решение заданного уравнения

= + = = .

Ответ. = = .

Задание 1.6. Решить уравнение, предварительно проверив, что заданное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Вар.	Уравнение:	Вар.	Уравнение:
1.6.1.		1.6.16.
1.6.2.		1.6.17.
1.6.3.		1.6.18.
1.6.4.		1.6.19.
1.6.5.		1.6.20.
1.6.6.		1.6.21.
1.6.7.		1.6.22.
1.6.8.		1.6.23.
1.6.9.		1.6.24.
1.6.10.		1.6.25.
1.6.11.		1.6.26.
1.6.12.		1.6.27.
1.6.13.		1.6.28.
1.6.14.		1.6.29.
1.6.15.		1.6.30.

1.7. Нахождение уравнений кривых с помощью дифференциальных
уравнений 1-го порядка

Для нахождения уравнений кривых с помощью дифференциальных уравнений 1-го порядка по заданным геометрическим свойствам кривых составляют уравнение , связывающее координаты произвольной точки кривой и производную функции . Напомним, что геометрический смысл производной − тангенс угла наклона касательной к кривой в точке .

На рисунке 1.1 представлена некоторая кривая . Для произвольной точки этой кривой построены касательная и нормаль и выделены точки пересечения касательной и нормали с осями и , именно: а) для касательной – точки и ; б) для нормали – точки и .

Рис.1.1.

Геометрические свойства кривой обычно задаются условиями на соотношения между длинами отрезков

– отрезки касательной,

– подкасательная,

– отрезки нормали,

– поднормаль (см.рис.1.1). Каждое такое соотношение есть дифференциальное уравнение, определяющее совокупные геометрические свойства кривой. Решая уравнение, находят соответствующее семейство кривых с заданными свойствами. Задавая начальные условия, из семейства кривых выделяют единственную кривую.

Ниже приведены формулы длин основных характерных отрезков кривой , , , , , Величиной обозначен угловой коэффициент касательной в точке .

Запишем для точки уравнение касательной

(1.8)

и нормали

. (1.9)

Используя (1.8), определим координаты точек и пересечения касательной с осями координат , и вычислим длины отрезков , :

а) для точки имеем:

=0 → = → = → = ; (1.10)

б) для точки имеем:

=0 → = → = → = . (1.11)

Зная координаты точки (см. (1.10)), вычислим длину подкасательной:

Аналогично, используя (1.9), найдем координаты точек и пересечения нормали с осями координат , и вычислим длины отрезков , :

а) для точки имеем:

=0 → = → = → = ; (1.12)

б) для точки имеем:

=0 → = → = → = .

Используя (1.12), вычислим длину поднормали = .

Рис.1.2.

Пример 1.7. Найти уравнения кривых, проходящих через точку (1,1), зная, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной к кривой в каждой точке, пропорциональна ординате точки касания. Принять коэффициент пропорциональности

=2.

Решение. Пусть – произвольная точка кривой (см.рис.1.2). Считаем , так как ордината должна быть пропорциональна неотрицательной величине – длине отрезка. Условие задачи означает, что длина отрезка равна 2 , то есть, применяя формулу (1.11) для вычисления длины отрезка , =2 .