Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Дифференциальные уравнения семейства кривых

Пусть задано семейство кривых: , где - параметр. Необходимо составить дифференциальное уравнение, решением которого является это семейство.

Общая схема решения этой задачи:

1) Равенство определяет неявную функцию . Тогда на некотором промежутке справедливо тождество: . Дифференцируя это тождество по переменной , получим: = = =0.

2) Запишем систему Исключив параметр из этой системы, получим дифференциальное уравнение, решением которого является семейство кривых: .

Пример 1.1. Имеем семейство кривых: . Необходимо построить дифференциальное уравнение, для которого данное семейство кривых является решением.

Решение: 1) Считая, что выражение определяет неявную функцию , продифференцируем это выражение по независимой переменной . Имеем .

2) Запишем систему Для исключения из системы параметра умножим первое уравнение на и приравняем левые части первого и второго равенств. Получим дифференциальное уравнение , или , решением которого является заданное семейство кривых.

Ответ. .

Задание 1.1. Составить дифференциальное уравнение для семейства кривых.

Вар.	Семейство:	Вар.	Семейство:
1.1.1.	.	1.1.16.	.
1.1.2.	.	1.1.17.	.
1.1.3.	.	1.1.18.	.
1.1.4.	.	1.1.19.	.
1.1.5.	.	1.1.20.	.
1.1.6.	.	1.1.21.	.
1.1.7.	.	1.1.22.	.
1.1.8.	.	1.1.23.	.
1.1.9.	.	1.1.24.	.
1.1.10.	.	1.1.25.	.
1.1.11.	= .	1.1.26.	.
1.1.12.	.	1.1.27.	.
1.1.13.	.	1.1.28.	.
1.1.14.	.	1.1.29.	.
1.1.15.	.	1.1.30.	.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Известно, что в общем случае дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными может быть представлено в виде:

. (1.1)

Для интегрирования уравнения переменные и должны быть разделены. Для этого требуется разделить равенство (1.1) на произведение . В результате получим:

. (1.2)

Интегрируя (1.2), находим общее решение исходного уравнения (1.1) в виде выражения: .

Для перехода к записи (1.2) выполнялось деление на функции: и . Если возможны равенства и , необходимо функции и учесть как решения исходного уравнения.

Пример 1.2. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. 1) Заданное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными, где и . Так как и , то функции и необходимо учесть как решения исходного уравнения.

2) Теперь считаем, что . Разделив заданное уравнение на , получим уравнение с разделенными переменными.

3) В результате интегрирования находим общее решение уравнения в виде или . Учитывая, что − произвольная постоянная величина, запишем общее решение в виде . При =0 из общего решения получаем также решение .

Ответ. ; .

Задание 1.2. Решить уравнение с разделяющимися переменными.

Вар.	Уравнение:	Вар.	Уравнение:
1.2.1.		1.2.16.
1.2.2.		1.2.17.
1.2.3.		1.2.18.
1.2.4.		1.2.19.
1.2.5.		1.2.20.
1.2.6.		1.2.21.
1.2.7.		1.2.22.
1.2.8.		1.2.23.
1.2.9.		1.2.24.
1.2.10.		1.2.25.
1.2.11.		1.2.26.
1.2.12.		1.2.27.
1.2.13.		1.2.28.
1.2.14.		1.2.29.
1.2.15.		1.2.30.

Однородные дифференциальные уравнения

В общем случае однородное дифференциальное уравнение может быть представлено в виде:

, (1.3)

где функции и однородные функции одного порядка. Используя свойства однородных функций, уравнение (1.3) можно переписать в виде .

Однородное уравнение решают с использованием замены , то есть . Вычислим . Подставим и в уравнение (1.3):

. (1.4)

Так как уравнение (1.4) есть уравнение с разделяющимися переменными и , то остается применить общий алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, как в разделе (1.2). Решив уравнение (1.4) с помощью замены , записываем решение исходного уравнения (1.3).

Пример 1.3. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. 1) Легко заметить, что в нашем случае = и = − однородные функции 2-го порядка, которое решаем применением замены , то есть .

2) Используя , перепишем уравнение – уравнение с разделяющимися переменными и . Для полученного уравнения выделим очевидные решения =0, то есть и .

3) После этого запишем уравнение в виде = , которое легко интегрируется = , или , или . Учитывая, что − произвольная постоянная величина, запишем общее решение в виде .

4) Учитывая что , запишем общее решение уравнения . При =0 из общего решения получаем также решение .

Ответ. ; =0.

Задание 1.3. Решить однородное уравнение.

Вар.	Уравнение:	Вар.	Уравнение:
1.3.1.		1.3.16.
1.3.2.		1.3.17.
1.3.3.		1.3.18.
1.3.4.		1.3.19.
1.3.5.		1.3.20.
1.3.6.		1.3.21.
1.3.7.		1.3.22.
1.3.8.		1.3.23.
1.3.9.		1.3.24.
1.3.10.		1.3.25.
1.3.11.		1.3.26.
1.3.12.		1.3.27.
1.3.13.		1.3.28.
1.3.14.		1.3.29.
1.3.15.		1.3.30.

Линейные дифференциальные уравнения

Заданное дифференциальное уравнение называют линейным, если искомая функция и ее производная входят в уравнение в 1-ой степени:

Рассмотрим решение уравнения, записанного в виде применением подстановки (метод Бернулли) , где и .

Для функции вычислим производную и вместе с выражением подставим в заданное уравнение:

. (1.5)

Потребуем, чтобы функция удовлетворяла условию . Это уравнение с разделяющимися переменными. Нам нужно одно частное решение уравнения. Разделим переменные и проинтегрируем , или . Подставив в (1.5), получим для нахождения уравнение с разделяющимися переменными . Последнее легко интегрируется + .