Уравнение состояния идеального газа



,

где – давление, – объём, – абсолютная температура, – молярная масса,  – универсальная газовая постоянная.

Закон Кулона.Сила взаимодействия двух точечных (или сферически симметричных) зарядов  и , находящихся на расстоянии  друг от друга:

,

где  (в системе СИ) – постоянная закона Кулона. Также постоянную  записывают в виде , где  – электрическая постоянная.

Сила, действующая на точечный заряд в электрическом поле

,

где  – напряжённость электрического поля в точке, где расположен заряд.

Закон Омасвязывает силу тока , протекающего через проводник сопротивлением , и напряжение (разность потенциалов)  на концах этого проводника

.

Электрический конденсатор (ёмкость)

,

где  – ёмкость конденсатора,  – заряд конденсатора,  – напряжение между обкладками конденсатора.


Потенциальная энергия конденсатора

.

Плоский конденсатор

,

где  – площадь каждой пластины (обкладки) конденсатора,  – расстояние между пластинами,  – диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами.

Напряжённость электрического поля между пластинами плоского конденсатора

.

Сила притяжения пластин плоского конденсатора между собой

,

где  – заряд конденсатора,  – напряжённость электрического поля в конденсаторе.

Механический момент, действующий на электрический диполь в однородном электрическом поле

,

где  – вектор дипольного момента,  – модуль зарядов диполя,  – вектор, направленный из точки зарядом  в точку с зарядом .

Рис.1.5. Чаша в форме параболоида с отверстием.  
Пример 1.8.Чаша в форме параболоида вращения в начальный момент заполнена водой. В самой нижней части чаши имеется отверстие радиуса , через которое вытекает вода (рис.1.5). Найти зависимость  уровня воды в чаше от времени, если высота чаши , радиус верхнего края . За какой промежуток времени  из чаши вытечет вся вода?

Решение. Зависимость между уровнем  воды в чаше и радиусом  горизонтальной поверхности воды имеет вид

.

Пусть за промежуток времени  уровень воды изменится на  (рис.1.5), тогда изменение объёма воды в чаше

                                                        .                                            (1.15)

С другой стороны, это изменение равно

                                                ,                                    (1.16)

где – скорость истечения воды из отверстия (см. Указание 1 к решению задач).

Приравнивая (1.15) и (1.16) и переходя к пределу при , получим дифференциальное уравнение

                                                       .                                           (1.17)

После разделения переменных в (1.17) и интегрирования, имеем:

                                                                                            (1.18)

Найдём константу  из начальных условий. Так как , то  поэтому (1.18) примет вид

                                                 .                                     (1.19)

Выражая  из (1.19), получим искомую зависимость:

                                        .

Поскольку , то из (1.19) найдём время, за которое вытечет вся вода:

.

Задание 1.8. Решить задачи.

Указание 1.В задачах 1.8.13-1.8.20 принять, что жидкость с учётом вязкости вытекает из сосуда со скоростью , где  – высота уровня воды над отверстием.

Указание 2: В задачах 1.8.27, 1.8.29, Д3 – Д5, Д8, Д9 производные  (или ) следует выразить как производные сложной функции  (или ) через  и  (или через  и ).

Указание 3. В задачах 1.8.6, 1.8.7 считать, что скорость изменения температуры тела пропорциональна разности между температурой окружающей среды и температурой этого тела.

1.8.1.Пуля массой летящая со скоростью = 200 м/c, пробивает доску за . Найти скорость пули  после вылета из доски, если внутри доски сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости пули с коэффициентом . Найти также толщину доски.

1.8.2.Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки = 1,5 м/с, через с скорость ее стала = 1 м/с. В какой момент  времени после начала торможения скорость лодки будет равна = 1 см/с? Какой путь  может пройти лодка до полной остановки?

1.8.3.В сосуде объемом л в начальный момент содержался воздух с объёмной долей азота . В течение последующего времени в сосуд втекало л азота за секунду, который непрерывно перемешивался, и вытекало такое же количество смеси. Найти зависимость объёмной доли  азота в сосуде от времени. Через какое время объёмная доля азота в сосуде стала равной ?

1.8.4.В баке в начальный момент находилось л раствора, содержащего кг соли. В течение последующего времени в бак непрерывно подавалась вода со скоростью л/мин, которая перемешивалась с имеющимся раствором, при этом смесь вытекала с той же скоростью. Найти зависимость массы соли  в баке от времени. Какая масса соли  оставалась в баке через мин?

1.8.5.Первоначальная объёмная доля  углекислого газа в воздухе комнаты объемом м³ была равна 0,15%. В последующее время вентиляция подавала в минуту м3 воздуха с объёмной долей  углекислого газа. Найти зависимость объёмной доли  углекислого газа в воздухе комнаты от времени. Через какое время  количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшилось втрое?

1.8.6.Тело охладилось за  мин от С до С. Температура окружающего воздуха поддерживается равной С. Найти зависимость температуры тела   от времени. К какому моменту времени  тело остынет до С?

1.8.7.Кусок метала с температурой  градусов помещен в печь, температура которой в течение часа равномерно повышается от  до  градусов. При разности температур печи и металла, равной  градусов, металл нагревается со скоростью  градусов в минуту. Найти зависимость температуры металла от времени. Найти температуру  металла через 1 час.

1.8.8.За первый день распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Найти зависимость количества нераспавшегося радиоактивного вещества  от времени, если вначале оно было равно . Через какой промежуток времени  останется 1% от первоначального количества?

1.8.9.Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины, пропорционально количеству падающего на него света и толщине слоя. Слой воды толщиной см поглощает половину падающего на него света. Найти зависимость количества (интенсивности) света , прошедшего сквозь слой воды, от толщины  этого слоя, если на слой воды падает свет интенсивности . Какую часть  света поглотит слой толщиной в м?

1.8.10.Парашютист, совершая затяжной прыжок, раскрыл парашют в момент, когда его скорость  составляла половину от предельной скорости  падения человека в воздухе нормальной плотности. Найти зависимость скорости парашютиста от времени с начала прыжка, считая, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. В какой момент  времени от начала прыжка он раскрыл парашют?

1.8.11.Футбольный мяч массой кг брошен вверх со скоростью . Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости с коэффициентом . Найти зависимость скорости мяча от времени. Вычислить время  подъёма мяча на наибольшую высоту.

1.8.12.Футбольный мяч массой кг падает с некоторой высоты без начальной скорости. Найти зависимость скорости мяча от времени падения, считая, что сопротивление воздуха пропорционально скорости мяча с коэффициентом . Вычислить скорость  мяча после  падения.

1.8.13.Из наполненного изначально доверху цилиндрического бака с радиусом м и высотой м через отверстие в дне радиусом см вытекает вода. Найти зависимость  уровня воды в баке от времени. За какой промежуток  времени вытечет вся вода? Ось цилиндра вертикальна.

1.8.14.Из полного цилиндрического бака высотой  через отверстие в дне половина воды вытекает за =5 мин. Найти зависимость  уровня воды в баке от времени. За какой промежуток  времени вытечет вся вода? Ось цилиндра вертикальна.

1.8.15.В прямоугольный бак длиной см, шириной см и высотой см поступает вода со скоростью л/с. В дне имеется отверстие площадью см². Найти зависимость между временем наполнения бака и уровнем воды  в нём. За какое время  наполняется весь бак?

1.8.16.В начальный момент воронка в форме конуса радиусом см и высотой см, обращенного вершиной вниз, доверху наполнена водой. В вершине конуса имеется отверстие радиусом см, через которое вытекает вода. Найти зависимость между временем, прошедшим с начального момента, и уровнем воды  в воронке. За какое время  из воронки вытечет вся вода?

1.8.17.В начальный момент бак в форме конуса радиусом см и высотой см вершиной вверх заполнен водой. В основании конуса имеется отверстие радиусом см, через которое вытекает вода. Найти зависимость между временем, прошедшим с начального момента, и уровнем воды  в баке. За какое время  из бака вытечет вся вода?

1.8.18.Бак имеет форму клина ребром вниз, торцевые стенки которого перпендикулярны боковым. Длина клина равна , высота , длина основания торца равна , в нижнем ребре клина сделано отверстие площадью , через которое может вытекать вода. В начальный момент бак заполнен водой. Найти зависимость между временем, прошедшим с начального момента, и уровнем воды  в баке. За какое время  из бака вытечет вся вода?

1.8.19.Бак имеет форму клина ребром вверх, торцевые стенки которого перпендикулярны боковым. Длина клина равна , высота – , длина основания торца равна , в нижнем основании бака сделано отверстие площадью , через которое может вытекать вода. В начальный момент бак заполнен водой. Найти зависимость между временем, прошедшим с начального момента, и уровнем воды  в баке. За какое время  из бака вытечет вся вода?

1.8.20.Бак имеет форму шара радиусом , в самой нижней части бака сделано отверстие площадью , через которое может вытекать вода. В начальный момент бак заполнен водой. Найти зависимость между временем, прошедшим с начального момента, и уровнем воды  в баке. За какое время  из бака вытечет вся вода?

1.8.21.Незаряженный в момент  конденсатор ёмкостью  последовательно с сопротивлением  включается в цепь с источником, напряжение на котором линейно возрастает от 0 до  за промежуток времени от  до . Найти заряд  на конденсаторе в момент времени .

1.8.22.Катушка с индуктивностью  включается последовательно с сопротивлением  в цепь с источником, напряжение на котором линейно возрастает от 0 до  за промежуток времени от  до . В момент замыкания цепи ток в ней равен нулю. Найти ток  в катушке в момент времени .

1.8.23.Найти атмосферное давление на высоте , если на поверхности земли давление равно  и плотность воздуха . Использовать закон Бойля – Мариотта, в соответствии с которым плотность пропорциональна давлению (пренебречь изменением температуры воздуха при изменении высоты).

1.8.24.Незаряженный конденсатор ёмкостью  включается в цепь с напряжением  и сопротивлением . Определить заряд  на конденсаторе в момент времени .

1.8.25.Катушка с индуктивностью  включается последовательно с сопротивлением  в цепь с напряжением . В момент замыкания цепи ток в ней равен нулю. Найти ток  в катушке в момент времени .

1.8.26.Напряжение между обкладками плоского конденсатора линейно возрастает за 1 с от  до . В начальный момент от одной из обкладок отрывается пылинка массой  с зарядом  и начинает двигаться к другой обкладке, испытывая сопротивление со стороны воздуха, заполняющего пространство между обкладками, которое пропорционально скорости пылинки с коэффициентом . Найти зависимость скорости пылинки от времени. Расстояние между обкладками равно , краевыми эффектами и силой тяжести пренебречь.

1.8.27.Метеорит, находящийся под влиянием земного притяжения, из состояния покоя начинает прямолинейно падать на Землю с высоты  (над поверхностью Земли). Найти зависимость скорости  метеорита от расстояния , пройденного им, при условии отсутствия земной атмосферы. Радиус Земли , ускорение свободного падения на поверхности Земли .

1.8.28.Катушка с индуктивностью  включается последовательно с резистором переменного сопротивления в цепь с источником постоянного напряжения величиной . До момента  по цепи протекал постоянный ток, а сопротивление резистора было равно . С момента  до  сопротивление резистора уменьшается обратно пропорционально времени. Найти ток  в катушке в момент времени .

1.8.29.Футбольный мяч, летящий горизонтально, ударяется о вертикальную стенку, при этом максимальная глубина его вмятины при деформации во время удара составляет , где  – радиус мяча. Найти зависимость скорости  мяча от глубины вмятины  во время удара о стену. Зависимостью давления  внутри мяча от глубины вмятины пренебречь; также считать, что части поверхности мяча, не соприкасающиеся со стеной, не деформируются. Найти скорость , с которой летел мяч до удара, если масса мяча кг, его радиус м, разность между давлениями внутри и снаружи мяча Па, .

1.8.30.Плоский конденсатор, одна из обкладок которого неподвижна, а другая удаляется от неё со скоростью , подключён к источнику постоянного напряжения . В момент, когда расстояние между обкладками было равно , от неподвижной обкладки оторвалась пылинка массой  с зарядом  и начала двигаться к другой обкладке. Найти зависимость скорости пылинки от времени, прошедшего с момента отрыва. Сопротивлением воздуха, краевыми эффектами и силой тяжести пренебречь.

Дополнительные задачи.

Пример 1.8.1. Сегмент цилиндра, имеющий жёсткие стенки, с внутренним радиусом  и внешним , вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг оси, совпадающей с осью цилиндра (рис.1.6). Внутри сегмента находится газ с молярной массой  и постоянной температурой . Найти распределение давления  внутри сегмента в зависимости от расстояния  до оси вращения, если известно, что . Влиянием силы тяжести пренебречь.

Рис.1.6. Сегмент цилиндра с газом, вращающийся вокруг оси.

Рис.1.7. Силы, действующие на элемент сегмента .

Решение. Введём вращающуюся с угловой скоростью  систему координат , где – полярные координаты в плоскости, перпендикулярной оси вращения, ось  направим вдоль оси вращения. Тогда сегмент цилиндра будет занимать область , где  – угол между боковыми гранями сегмента (рис.1.6). При постоянной угловой скорости вращения сегмента давление не будет зависеть от , при небольших высотах  сегмента зависимостью давления от  можно пренебречь, т.е. давление внутри сегмента будет зависеть только от расстояния  точки до оси вращения. Запишем условие равновесия для элементарного столбика сегмента  (рис.1.7). Пусть  и  – плотность и давление газа в точке на расстоянии  от оси вращения. Перечислим силы, действующие на сегмент:  – центробежная сила,   – силы давления со стороны соседних элементов сегмента. Модули этих сил:

                                                      (1.20)

где . Условие равновесия элемента  во вращающейся системе отсчёта имеет вид:

                                                      .                                          (1.21)

Проецируя векторное уравнение (1.21) на направление вектора  (рассматривая радиальные составляющие сил), получим уравнение

                           ,

а поскольку  при , то

                                                        .                                            (1.22)

Подставим (1.20) в (1.22):

;

разделив данное уравнение на  и перейдя к пределу при , получим дифференциальное уравнение

,

которое с учётом соотношения между плотностью и давлением в идеальном газе 

примет вид

                                                           .                                               (1.23)

Разделяя переменные в (1.23) и интегрируя, имеем , и после потенцирования . Поскольку , то , и окончательно получим искомое распределение

.

Д1. Из наполненного изначально доверху лежащего на боку цилиндрического бака с радиусом м и высотой м через отверстие в самой нижней части радиусом см вытекает вода. Найти зависимость  уровня воды в баке от времени. За какой промежуток  времени вытечет вся вода?

Д2. Резиновый шнур длиной в 1 м под действием горизонтальной силы  Н удлиняется на  метров. На сколько удлинится такой же шнур длины  и массы  под действием своего веса, если шнур подвесить за один конец?

Д3. Решить задачу 1.8.29 с учётом изменения давления внутри мяча при его деформации, процесс сжатия считать изотермическим. Начальное давление внутри мяча Па, давление снаружи  Па.

Д4. Решить задачу Д3, считая процесс сжатия адиабатическим, т.е. происходящим без теплообмена с окружающей средой. Уравнение адиабаты , где . Воздух внутри мяча считать двухатомным идеальным газом, т.е. .

Д5. Диэлектрическая пластинка может скользить без трения горизонтально между вертикально расположенных обкладок плоского конденсатора, заряженного и отключённого от источника питания. Длина обкладок , высота , размеры пластинки соответствуют размеру конденсатора, между пластинкой и обкладками есть тонкий зазор, которым можно пренебречь. В начальный момент пластинка имела смещение  относительно обкладок и нулевую скорость, а затем начала втягиваться внутрь между обкладками. Найти зависимость  скорости пластинки от смещения  её относительно обкладок конденсатора. Найти её скорость в момент, когда она полностью будет находиться между обкладок ( ). Заряд на конденсаторе Кл,  м; плотность пластинки , её диэлектрическая проницаемость ; . Электрическая постоянная .

Указание. Проекция на ось x силы, действующей на пластинку, находится по формуле , где  – потенциальная энергия конденсатора в зависимости от смещения пластинки.

Д6. На северном полюсе Марса исследователи обнаружили скважину многокилометровой глубины, прорытую к центру планеты. Скважина заполнена газом с молярной массой . Найти распределение давления газа в скважине в зависимости от глубины , если на поверхности давление равно , температура газа не зависит от глубины и равна . Плотность Марса считать постоянной и равной , гравитационная постоянная , радиус Марса , универсальная газовая постоянная .

Указание. При расчёте учитывать, что благодаря закону обратных квадратов ускорение свободного падения в точке, находящейся внутри сферически симметричного тела на расстоянии   от его центра, не зависит от массы, находящейся снаружи сферы радиуса .

Д7.Длинный узкий цилиндр, заполненный идеальным газом с молярной массой  и запаянный, вращается с угловой скоростью  вокруг оси, перпендикулярной его оси и проходящей через одно из его оснований. Найти распределение давления внутри цилиндра в зависимости от расстояния  до оси вращения, если вблизи неё давление равно . Температура во всех точках цилиндра равна , универсальная газовая постоянная .

Д8. Конус, погруженный в жидкость вершиной вниз, имеет положение равновесия при глубине погружения вершины, равной . В начальный момент конус погружают до глубины  и отпускают без начальной скорости. Найти зависимость скорости конуса от глубины  погружения его вершины. Плотность жидкости , сопротивлением её пренебречь.

Д9.Два металлических шарика, имеющие заряды  и , соединены лёгким непроводящим стержнем длины , который может вращаться вокруг оси, перпендикулярной ему и проходящей через его середину. Данную конструкцию помещают в однородное электрическое поле напряжённостью , которая перпендикулярна оси вращения. Найти зависимость угловой скорости  вращения стержня от угла  между напряжённостью электрического поля и стержнем, если в начальный момент стержень был перпендикулярен полю, а угловая скорость была равна нулю. Масса каждого из шариков равна . Массой стержня, сопротивлением среды и трением в оси пренебречь.

Д10.От одной из обкладок плоского конденсатора, подключённого к источнику постоянного напряжения , отрывается пылинка массой  с первоначальным зарядом  и начинает двигаться к другой обкладке, испытывая сопротивление со стороны воздуха, заполняющего пространство между обкладками, которое пропорционально скорости пылинки с коэффициентом . Заряд пылинки непрерывно меняется по экспоненциальному закону вследствие утечки свободных электронов и через 1 мс после отрыва составил . Найти зависимость скорости пылинки от времени, если расстояние между обкладками равно , краевыми эффектами и силой тяжести пренебречь.

Уравнения Лагранжа и Клеро

Уравнения Лагранжа и Клеро относят к типу дифференциальных уравнений, не разрешённых относительно производной .

Уравнение Лагранжа. Стандартная форма записи уравнения: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:

1. Полагают = и записывают исходное уравнение в виде .

2. Дифференцируют выражение  по переменной : . Заменяя на , получают:

                                                   .                                            (1.24)

3. Если уравнение  имеет корни , то функции  будут решениями уравнения (1.24), а прямые  решениями уравнения Лагранжа.

4. Если , то уравнение (1.24) записывают как линейное относительно переменной = . Найдя его решение  и, составив систему  получают решение уравнения Лагранжа в параметрическом виде.

Пример 1.9. Найти общее решение уравнения Лагранжа  в параметрической форме.

Решение. 1) Запишем уравнение в стандартном виде , где =  и = 0. Полагаем = . Перепишем исходное уравнение = .

2) Дифференцируем  по переменной . Заменяя  на  получим .

3) Уравнение =0 имеет корни = –1 и = 1. Следовательно, функции   и , то есть = и =  являются решениями исходного уравнения.

4) В случае , учитывая, что = , после простых преобразований уравнение  перепишем в виде линейного уравнения относительно = . Откуда .

5) Составим систему   – решение уравнения Лагранжа в параметрической форме, из которой легко получить решение в явном виде .

Ответ.   или ; .  

Задание 1.9. Решить уравнения  Лагранжа.

Вар. Уравнение: Вар. Уравнение:
1.9.1. 1.9.4.
1.9.2. 1.9.5.
1.9.3. 1.9.6.

Уравнение Клеро. Стандартная форма записи уравнения . Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа. Решение его ищут, как и уравнения Лагранжа, в параметрической форме.

Пример 1.10. Решить уравнение Клеро , применяя метод введения параметра.

Решение. 1) Полагая =  и дифференцируя выражение , получим уравнение  или .

Рис.1.8.
2) Пусть . Тогда  и получаем следующее решение уравнения Клеро в параметрической форме  Исключая , найдем решение в явном виде . Это решение задает одно параметрическое семейство прямых.

3) Пусть . В этом случае получаем, что решением является линия  Исключая параметр , получим решение в явном виде  – парабола. Данная парабола является огибающей семейства  (то есть в каждой своей точке касается одной из прямых семейства  (см.рис.1.8)) и задает особое решение исходного уравнения (решение особое, если через каждую его точку проходит более одного решения дифференциального уравнения).

Ответ. , особое решение: .

Задание 1.10. Решить уравнения Клеро.

Вар. Уравнение: Вар. Уравнение:
1.10.1. 1.10.4.
1.10.2. 1.10.5.
1.10.3. 1.10.6.

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 227; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ