Практически, для реальных цепей реактивные двухполюсники – это двухполюсники из катушек индуктивности и конденсаторов (двухполюсники с малыми потерями).
Простейшие реактивные двухполюсники
Схемы простейших реактивных двухполюсников:
Таблица 1. Простейшие реактивные двухполюсники
И их свойства
| 
| 
| 
|
Z(p)=pL
Z(jω)=jωL
Y(p)=1/(pL)
Класс 0 - ¥
| Z(p)=1/pC
Z(jω)=1/ jωC
Y(p)=pC
Класс ¥ - 0
| 
Класс ¥ - ¥
| 
Класс 0 – 0
|
У всех реактивных двухполюсников комплексное сопротивление чисто мнимое: 
. Соответственно мнимая часть или реактивное сопротивление характеризует частотные свойства двухполюсника.
Иногда вместо графиков сопротивлений изображают характеристические оси:
Значение величины сопротивления реактивного двухполюсника в крайних точках, на крайних частотах 0 и ∞ называют классом реактивного двухполюсника.
Все это касается и сложных двухполюсников, которые являются комбинацией простых.
Функция Х(ω) – всегда возрастающая в математическом смысле, т.е. ее производная по частоте – положительная.
Теорема Фостера о сопротивлении
Реактивного двухполюсника
Комплексное сопротивление реактивного двухполюсника можно представить функцией, выраженной через ее нули и полюса (резонансные частоты):
(1),
где Н – некоторый множитель, положительное вещественное число; ω – угловая частота;ωк – резонансные частоты (математически нули и полюсы). Принято в числителе использовать нечетные индексы (нули функции сопротивления ДП) в знаменателе четные (полюсы функции сопротивления ДП).
|
|
|
Из этой формулы можно получить частные случаи, соответствующие классам двухполюсников. Для классов 0 - ∞, 0 – 0 ω1=0. Для классов ∞ - 0, ∞ - ∞ ω1≠0.
Производная по частоте всегда положительная: 
Нули и полюсы всегда чередуются.
Старшая и младшая степени полиномов числителя и знаменателя отличаются не более, чем на единицу (нули и полюсы в начале и конце координат – простые).
Дробь (1) представляет собой либо отношение нечетного полинома к четному, либо четного к нечетному.
Множитель Н по своему смыслу соответствует эквивалентной индуктивности или величине, обратной эквивалентной емкости при 
.
Канонические схемы Фостера
Канонические схемы – стандартные схемы или схемы, построенные по определенному правилу.
Первая схема Фостера
Первые элементы обозначаются на схеме следующим образом: 
, далее- четным, а последние 
. Индексы показывают, на какой частоте происходит полюс у этого элемента или пары элементов.
Для анализа такой схемы удобно воспользоваться операторным сопротивлением:
(здесь четные индексы – полюсы функции сопротивления). Это выражение можно преобразовать в общую дробь:
|
|
|
(в числителе нечетные индексы в знаменателе четные). В знаменателе столько скобок, сколько параллельных контуров в схеме.
Класс реактивного двухполюсника здесь определяет только первая пара элементов (если есть оба элемента, то класс ∞ - ∞; нет ни одного 0 – 0; есть только индуктивность 0 - ∞; есть только емкость ∞ - 0). Пример графика для класса ∞ - ∞;
|
Существует правило для канонических схем: количество элементов в канонической схеме минимальное для получения заданной функции сопротивления (заданного количества резонансных частот, т.е. внутренних нулей и полюсов). Количественно их на единицу больше общего числа резонансных частот (внутренних нулей и полюсов). Также самая старшая степень полинома числителя или знаменателя равна количеству элементов. 
может равняться при ω→∞ ∞ или 0. При этом емкости заменяются перемычкой, индуктивности заменяются разрывом. Если 
= ∞, то в первой схеме Фостера 
и Н малая величина, если 
=0, то 
- большая величина. Тогда в первой схеме Фостера при последовательном соединении с учетом схемы при ω→∞ 
.
Вторая схема Фостера
Эта схема дуальна первой схеме Фостера. Первые элементы обозначаются на схеме следующим образом: 
, далее- нечетным, а последние 
. Индексы соответствуют полюсам проводимости. Элементы определяют класс двухполюсника (если есть оба элемента, то класс двухполюсника 
, если нет обоих элементов, то 
и т.д.). Количество последовательных контуров соответствует количеству резонансных частот напряжения (или скобок в числителе - нулей сопротивления).
|
|
|
Здесь в общем виде удобно записать формулу проводимости:
(здесь индексы нечетные –нули функции сопротивления или полюсы проводимости).
Множитель 
находится аналогично во второй схеме Фостера. на основе схемы замещения при ω→∞. Если 
= ∞, то во второй схеме Фостера 
и Н малая величина, если =0, то - большая величина. Тогда во второй схеме Фостера при последовательном соединении с учетом схемы при ω→∞ 
.
Канонические схемы Кауэра
Ая схема Кауэра
Такая схема называется лестничной или цепной схемой. Сопротивление удобно записать в виде лестничной или цепной дроби:
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 650; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!