Решение задачи кинетическим и статическим методом

Рис. 4.

Бесконечно жесткий брус подвешен на трех вертикальных стержнях (рис. 4). Известны длины стержней , площади поперечных сечений стержней , пределы текучести материалов стержней  (i= ). Определить предельную нагрузку  для рассматриваемой стержневой системы при , = 4, .

Решение задачи кинематическим методом

В кинематическом методе используют уравнение баланса мощностей (18), кинематиче­ские граничные условия (12), уравнение предельной по­верхности (14), соотношения ассо­циированного закона деформирования (13) и соотношения (15). Используя (18) определяют выражение для  (целевая функция) и некоторое инте­гральное ограничение, остальные ограничения задачи линейного программи­ро­вания следуют из других, используемых в этом методе, соотношений.

Кинематические граничные условия

(12)

Соотношения ассоциированного закона деформирования

                              (13)

Уравнение поверхности нагружения, соответствующие предельному состоянию (уравнение поверхности текучести или поверхности проч­ности)

   (14)

Поля скоростей перемещений и скоростей деформаций могут иметь до­пус­тимые разрывы и связаны между собой соотношениями

             (15)

(18)

p_i – компоненты вектора поверхностной нагрузки; X_i – компоненты вектора объ­емной нагрузки; , скорости деформации .

Согласно этому методу, истинному механизму разрушения соответствует минимальное значение кинематически возможной нагрузки . Для рассматриваемой системы возможны всего три различных механизма разрушения. Поэтому истинный механизм разрушения с min  можно установить путем перебора этих кинематически возможных механизмов разрушения.

Согласно принципу возможных перемещений имеем:

= .               (31)

Здесь ,  – скорости кинематически возможных перемещений точек А, В, С, D,соответственно (рис.2), ,  – усилия растяжения-сжатия стержней 1,2,3, соответственно, в состоянии разрушения системы: , = , . Расчеты усилия растяжения-сжатия стержней представлены в таблице 3, при .

Таблица 4. Усилия растяжения-сжатия стержней

№
1	1	3	4	0,4	0,6	1,2
2	3	4	1	1,2	0,8	0,3
3	4	1	3	1,6	0,2	0,9
4	4	3	1	1,6	0,6	0,3
5	3	1	4	1,2	0,2	1,2
6	1	4	3	0,4	0,8	0,9

Условия совместности скоростей перемещений: а=4; b=3,5; c=4,5;

= =  = .                  (32)

Так как в кинематическом методе важно только направление вектора скоростей деформации, можно принять следующее дополнительное условие:

=1.                                                    (33)

Из (32) получаем:

1) 4* 0,5* =3,5;

2) 4* +0,5* =4,5;

3) -

С учетом исходных соотношений между ,  и условия (33), уравнение (31) можно записать в следующем виде:

.  (34)

1. Пусть ; тогда, согласно (32) и (33), имеем . Согласно (34) получаем:

 

Таблица 5

№
1	0,4	0,6	1,2	0			1,9
2	1,2	0,8	0,3	0			1,0
3	1,6	0,2	0,9	0			1,2
4	1,6	0,6	0,3	0			0,9
5	1,2	0,2	1,2	0			1,5
6	0,4	0,8	0,9	0			1,7

                                                                        (35)

2. Пусть ; тогда .

Так как скорость диссипации механической энергии не может быть отрицательной величиной, т.е. 0 всегда, в (34)  необходимо подставлять по модулю. С учетом этого имеем:

Таблица 6

№
1	0,4	0,6	1,2	7	0	2	5,2
2	1,2	0,8	0,3	7	0	2	9,0
3	1,6	0,2	0,9	7	0	2	13,0
4	1,6	0,6	0,3	7	0	2	11,8
5	1,2	0,2	1,2	7	0	2	10,8
6	0,4	0,8	0,9	7	0	2	4,6

(36)

3. Пусть теперь ; тогда, . Имеем:

Таблица 7

№
1	0,4	0,6	1,2		2	0	4,8
2	1,2	0,8	0,3		2	0	12,4
3	1,6	0,2	0,9		2	0	14,8
4	1,6	0,6	0,3		2	0	15,6
5	1,2	0,2	1,2		2	0	11,2
6	0,4	0,8	0,9		2	0	5,2

                                                                                  (37)

Из кинематически возможных нагрузок (35,36,37) выбираем наименьшее значение:

. (38)

Значение (38) оценивает действительную разрушающую нагрузку  сверху:

.                                          (39)

---

Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 228; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!