Мощности в цепях переменного тока
По аналогии с мощностью в цепях постоянного тока P = U I, в цепях переменного тока рассматривают мгновенную мощность p = u i. Для упрощения рассмотрим мгновенную мощность в каждом из элементов R, L и С отдельно.
Элемент R (резистор)
Зададим напряжение и ток в виде соотношений
u(t) = Um sin(ωt + ψu),
i(t) = Im sin(ωt + ψi).
Известно, что для резистора ψu = ψi, тогда для р получим
(2.32)
p(t) = u(t) i(t) = Um Im sin2(ωt + ψi).
Из уравнения (2.32) видно, что мгновенная мощность всегда больше нуля и изменяется во времени. В таких случаях принять рассматривать среднюю за период Т мощность
(2.33)
.
Если записать Um и Im через действующие значения U и I: 
, 
, то получим
(2.34)
P = U I.
По форме уравнение (2.34) совпадает с мощностью на постоянном токе. Величину Р равную произведению действующих значений тока и напряжения называют активной мощностью. Единицей ее измерения является Ватт (Вт).
Элемент L (индуктивность)
.
Для количественной оценки мощности в индуктивности используют величину QL равную максимальному значению рL
(2.36)
|
|
|
QL = (Um Im) / 2
и называют ее реактивной (индуктивной) мощностью. Единицей ее измерения выбрали ВАр (вольт-ампер реактивный). Уравнение (2.36) можно записать через действующие значения U и I и используя формулу UL = I XL получим
(2.37)
QL = I2 XL.
Элемент С (ёмкость)
Известно, что в емкости соотношение фаз ψu = ψi - 90°.
По аналогии с уравнением (2.36) вводят величину QC = I2 XC, которую называют реактивной (емкостной) мощностью. Единицей ее измерения также является ВАр.
Если в цепи присутствуют элементы R, L и С, то активная и реактивная мощности определяются уравнениями
(2.37)
P = U I cos φ,
(2.38)
Q = QL - QC,
(2.39)
Q = U I sin φ,
где φ – угол сдвига фаз.
Вводят понятие полной мощности цепи
(2.40)
.
С учетом уравнений (2.37) и (2.39), (2.40) можно записать в виде
(2.41)
S = U I.
Единицей измерения полной мощности является ВА – вольт-ампер.
Цепь с последовательным соединением элементов
Проведем анализ работы электрической цепи с последовательным соединением элементов R, L, С.
Положим, что в этой задаче заданы величины R, L, С, частота f, напряжение U. Требуется определить ток в цепи и напряжение на элементах цепи. Из свойства последовательного соединения следует, что ток во всех элементах цепи одинаковый. Задача разбивается на ряд этапов.
|
|
|
1. Определение сопротивлений.
Реактивные сопротивления элементов L и С находим по формулам
XL = ωL, XC = 1 / ωC, ω = 2πf.
Полное сопротивление цепи равно
,
угол сдвига фаз равен
(2.42)
φ = arctg((XL - XC) / R),
2. Нахождение тока. Ток в цепи находится по закону Ома
I = U / Z, ψi = ψu + φ.
Фазы тока и напряжения отличаются на угол φ.
3. Расчет напряжений на элементах. Напряжения на элементах определяются по формулам
UR = I R, ψuR = ψi ;
UL = I XL, ψuL = ψi + 90° ;
UC = I XC, ψuC = ψi - 90°.
Для напряжений выполняется второй закон Кирхгофа в векторной форме.
Ú = ÚR + ÚL + ÚC.
4. Анализ расчетных данных. В зависимости от величин L и С в формуле (2.42) возможны следующие варианты: XL > XC; XL < XC; XL = XC.
Для варианта XL > XC угол φ > 0, UL > UC. Ток отстает от напряжения на угол φ. Цепь имеет активно-индуктивный характер. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 2.16).
Для варианта XL < XC угол φ < 0, UL < UC. Ток опережает напряжение на угол φ. Цепь имеет активно-емкостный характер. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 2.17).
|
|
|
Резонанс
Для варианта XL = XC угол φ = 0, UL = UC. Ток совпадает с напряжением. Цепь имеет активный характер. Полное сопротивление z=R наименьшее из всех возможных значений XL и XC. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 2.18).
Этот режим называется резонанс напряжений (UL = UC). Напряжения на элементах UL и UC могут значительно превышать входное напряжение.
Пример. Для последовательной R , L , С цепи дано:
U = 220 B, f = 50 Гц, R = 22 Ом, L = 350 мГн, С = 28,9 мкФ. Требуется найти ток в цепи и напряжения на всех ее элементах.
XL = ωL = 2πf L = 2 · 3,14 · 50 · 0,35 = 110 Ом;
XC = 1 / ωC = 1 / (2πf C) = 110 Ом;
= R
Z = R = 22 Ом,
I = U / R = 220 / 22 = 10 А,
ψu = ψi; φ=0,
UL = UC = I XL = 10 · 110 = 1100 В.
В цепи имеет место резонанс напряжений.
В приведенном примере UL и UС превышают входное напряжение в 5 раз.
Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 72; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!