Аналитический метод с использованием комплексных чисел
Тема : Однофазные электрические цепи переменного тока
Большинство потребителей электрической энергии работает на переменном токе. В настоящее время почти вся электрическая энергия вырабатывается в виде энергии переменного тока. Это объясняется преимуществом производства и распределения этой энергии. Переменный ток получают на электростанциях, преобразуя с помощью генераторов механическую энергию в электрическую.
Основное преимущество переменного тока по сравнению с постоянным заключается в возможности с помощью трансформаторов повышать или понижать напряжение, с минимальными потерями передавать электрическую энергию на большие расстояния, в трехфазных источниках питания получать сразу два напряжения: линейное и фазное. Кроме того, генераторы и двигатели переменного тока более просты по устройству, надежней в работе и проще в эксплуатации по сравнению с машинами постоянного тока.
В электрических цепях переменного тока наиболее часто используют синусоидальную форму, характеризующуюся тем, что все токи и напряжения являются синусоидальными функциями времени. В генераторах переменного тока получают ЭДС, изменяющуюся во времени по закону синуса, и тем самым обеспечивают наиболее выгодный эксплуатационный режим работы электрических установок. Кроме того, синусоидальная форма тока и напряжения позволяет производить точный расчет электрических цепей с использованием метода комплексных чисел и приближенный расчет на основе метода векторных диаграмм. При этом для расчета используются законы Ома и Кирхгофа, но записанные в векторной или комплексной форме.
|
|
|
Способы представления синусоидальных токов, напряжений, ЭДС
В современной технике широко используют разнообразные по форме переменные токи и напряжения: синусоидальные, прямоугольные, треугольные и др. Значение тока, напряжения, ЭДС в любой момент времени t называется мгновенным значением и обозначается малыми строчными буквами, соответственно
i = i(t); u = u(t); e = e(t).
Токи, напряжения и ЭДС, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени, называют периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения происходят, называют периодом Т.
Если кривая изменения периодического тока описывается синусоидой, то ток называют синусоидальным. Если кривая отличается от синусоиды, то ток несинусоидальный. В промышленных масштабах электрическая энергия производится, передается и расходуется потребителями в виде синусоидальных токов, напряжений и ЭДС,
При расчете и анализе электрических цепей применяют несколько способов представления синусоидальных электрических величин.
|
|
|
Аналитический способ
Для тока
(2.1)
i(t) = Im sin( ω t + ψ i ),
для напряжения
(2.2)
u(t) = Um sin (ωt +ψu),
для ЭДС
(2.3)
e(t) = Em sin ( ω t + ψ e ),
В уравнениях (2.1 – 2.3) обозначено:
Im, Um, Em – амплитуды тока, напряжения, ЭДС;
значение в скобках – фаза (полная фаза);
ψi, ψu, ψe – начальная фаза тока, напряжения, ЭДС;
ω – циклическая частота, ω = 2πf;
f – частота, f = 1 / T;
Т – период.
Величины i, Im – измеряются в амперах, величины U, Um, e, Em – в вольтах; величина Т (период) измеряется в секундах (с); частота f – в герцах (Гц), циклическая частота ω имеет размерность рад/с. Значения начальных фаз ψi, ψu, ψe могут измеряться в радианах или градусах. Величина ψi, ψu, ψe зависит от начала отсчета времени t = 0. Положительное значение откладывается влево, отрицательное – вправо.
|
|
|
Временная диаграмма
Временная диаграмма представляет собой графическое изображение синусоидальной величины в заданном масштабе в зависимости от времени (рис. 2.1).
i(t) = Im sin(ωt - ψi).
Рисунок 2.1
Графоаналитический способ
Рисунок 2.2
Графически синусоидальные величины изображаются в виде вращающегося вектора (рис. 2.2). Предполагается вращение против часовой стрелки с частотой вращения ω. Величина вектора в заданном масштабе представляет амплитудное значение. Проекция на вертикальную ось есть мгновенное значение величины.
Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины (ток, напряжение, ЭДС) одной и той же частоты называют векторной диаграммой.
Векторные величины отмечаются точкой над соответствующими переменными.
Использование векторных диаграмм позволяет существенно упросить анализ цепей переменного тока, сделать его простым и наглядным.
В основе графоаналитического способа анализа цепей переменного тока лежит построение векторных диаграмм.
Аналитический метод с использованием комплексных чисел
Рисунок 2.3
Синусоидальный ток i(t) = Im sin(ωt + ψ) можно представить комплексным числом Ím на комплексной плоскости (рис. 2.3)
|
|
|
Ím = Imejψ,
где амплитуда тока Im – модуль, а угол ψ, являющийся начальной фазой, – аргумент комплексного тока.
Использование комплексной формы представления позволяет заменить геометрические операции над векторами алгебраическими операциями над комплексными числами. В результате этого к анализу цепей переменного тока могут быть применены все методы анализа цепей постоянного тока. Подробнее этот метод будет рассмотрен ниже.
Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 100; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!