Подходящие дроби и их свойства
- конечная цепная дробь.
Определение. Подходящей дробью k – го порядка к конечной цепной дроби называется дробь, которая остается после отбрасывания элементов, начиная с 
Обозначается 
.
Из определения следует, что всякая конечная цепная дробь равна своей последней подходящей дроби, 
.
Свойства подходящих дробей:
1) 
;
;
2) При 
справедливо равенство 
3) Подходящие дроби несократимы, т.е. ( 
4) Знаменатели подходящих дробей, начиная с 
образуют возрастающую последовательность.
5) Для справедливо равенство 
6) Для 
справедливо равенство 
7) Подходящие дроби с четными индексами образуют возрастающую последовательность, а с нечетными – убывающую
8) Всякая четная подходящая дробь меньше любой нечетной подходящей дроби.
Замечание. Из свойства 3 следует, что если дробь 
разложить в конечную цепную дробь, то ее последняя подходящая дробь будет несократимой и равной 
.
Пример. Сократите дробь, разлагая ее в конечную цепную дробь 
.
Решение.
С помощью алгоритма Евклида разложим дробь в конечную цепную дробь:
1043=3427 
3427=1043 
3+298
104298 3+149
298=149 2
Подходящие дроби удобно вычислять по следующей схеме с помощью таблицы:
| k | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 0 | 3 | 3 | 2 |
| 
|  =0  3+1=1
| 
| 
|
| 
| 
|   =10
| 
|
Таким образом, 
Неопределенные уравнение первой степени с двумя неизвестными
|
|
|
Определение . Алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, решения которых отыскиваются в целых или рациональных числах, называются диофантовыми (неопределенными).
Рассмотрим линейное уравнение 
(1), где 
, 
- ненулевые целые числа, с – любое целое число.
Определение. Решением уравнения (1) называется упорядоченная пара целых чисел, удовлетворяющая уравнению.
Теорема 1. Если в уравнении ах+ by = c , ( a , b )= d >1 и c не 
d , то уравнение (1) не имеет решений.
Теорема 2. Если в уравнении ах+ by = c , ( a , b )= d >1 и c d , то оно равносильно уравнению a 1 х+ b 1 y = c 1 , в котором ( a 1 , b 1 )=1.
Рассмотрим уравнение ах+ by = c , ( a , b )=1. (1)
Пусть 
и 
удовлетворяют уравнению (1), т.е. а 
+ b 
= c верное равенство. Тогда 
, 
с целым параметром 
задают все решения уравнения. Основной проблемой решения уравнения (1) является нахождение частного решения ( 
, 
).
Разложим отношение коэффициентов 
в конечную цепную дробь и найдем ее подходящие дроби 
= 
.
По свойству подходящих дробей
.
Следовательно, = 
, = 
.
Таким образом, общее решение уравнения (1) находится по формулам
|
|
|
.
Пример. Решить уравнение в целых числах 
.
Решение.
(31, 42)=1, значит уравнение имеет бесконечное множество целочисленных решений. Разложим в непрерывную дробь отношение коэффициентов 
и найдем подходящие дроби
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 0 | 1 | 2 | 1 | 4 | 2 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 14 | 31 |
| 1 | 1 | 3 | 4 | 19 | 42 |
Ответ. x 
y 
.
Пример. Решить уравнение в целых числах 
.
Решение.
Перепишем уравнение в виде 
и решим это уравнение относительно неизвестных x и - y.
(10, 17)=1, значит уравнение имеет бесконечное множество целочисленных решений. Разложим в непрерывную дробь отношение коэффициентов 
и найдем подходящие дроби
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|
| 0 | 1 | 1 | 2 | 3 |
|
| 0 | 1 | 1 | 3 | 10 |
|
| 1 | 1 | 2 | 5 | 17 |
x 
y 
.
Ответ. x 
y 
.
Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 286; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!