МЭ олимпиады. Решения. 10 класс. 2017г.
1.Обозначим четырехзначное число 
. Тогда число - 17 тоже делится на 17. Но - 17 = 100۰ 
+ 17 - 17 = 100۰ . Так как числа 100 и 17 являются взаимно простыми, то двузначное число 
делится на 17. Перебором находим все двузначные числа, делящиеся на 17: 17, 34, 51, 68, 85. Их всего пять. Тогда искомых чисел также будет пять:1717, 3417, 5117, 6817, 8517.
Ответ: 5.
2. Так как 25, 41, 65 – члены арифметической прогрессии, то
25 = a 
+ kd ; 41 = a + nd ; 65 = a + md , где k , n , m - натуральные числа. Из данных трех равенств следует, что 16 = (n – k)d , 24 = (m – n)d . Из данных двух равенств получаем:
8 = (m –2n + k)d . Так как 2017 = 1 + 2016, а 2016 = 252۰8 = 3۰8 + 249۰8 = 24 + + 249۰8 = 24 + 249(m –- 2n + k)d , то 2017 = 1 + 24 + 249(m -2n + k)d = 25 + + 249(m -2n + k)d = a + kd + 249(m - 2n + k)d = a + (249m – 498n +250 k)d или 2017 = a + ld , где l – натуральное положительное число. То есть, 2017 является членом этой же последовательности.
Ответ: Да, является.
3. Введем прямоугольную систему координат следующим образом: ось абсцисс направим вправо по большей стороне трапеции, точку O выберем в середине большей стороны, а ось ординат – направим перпендикулярно оси абсцисс (смотри рисунок).
 |
y
D(- 4,5; 8) C(4,5; 8)
|
|
|
A (-10,5; 0) O B (10,5; 0) x
E(0;x)
Обозначив вершины трапеции буквами A , B , C , D, получим: A(-10,5; 0), B(10,5; 0), C(4,5; 8), D(-4,5; 8). Пусть точка E – центр искомой окружности. Тогда координаты ее будут E(0; x). Применим формулу расстояния между двумя точками и, учитывая, что EC = EB = r , найдем 
и 
: 
, 
. Приравнивая правые части данных равенств, получаем, что x = - 1,625. Тогда r = EB = = 
Замечание. Задачу можно решить и без координатного метода.
Ответ: 10,625.
4. Допустим, что данные уравнения имеют общий корень 
. Вычтем из равенства 
равенство 
. Получим 
, из которого получаем: 
. Так как по условию b > a , d > c , то b – a > 0и d – c > 0. Поэтому 
. Но положительное число не может быть корнем многочлена, у которого все коэффициенты положительны. Значит, уравнения 
и 
не могут иметь общих корней.
Ответ:Не могут.
5. Назовем выигрышной позицией ту, сделав ход в которую мы выигрываем; а проигрышной позицией ту, при которой мы проигрываем. Очевидно, что все позиции, из которых можно попасть в выигрышную, являются проигрышными (если мы сделали ход в такую позицию, то противник следующим ходом может оказаться в выигрышной ситуации и выиграть). Аналогично позиции, из которых можно попасть только в проигрышные, являются выигрышными (так как сделав ход в такую позицию, мы вынуждаем противника ходить в проигрышную позицию). Вернемся теперь к нашей игре. Получив число 1000, мы выигрываем, поэтому 1000 – выигрышная позиция. Попасть в 1000 можно из 501, 502, 503, …, 999, значит все эти позиции проигрышные. Из числа 500 можем попасть только в одно из чисел 501, 502, 503, …, 999, то есть только в проигрышную позицию. Значит, 500 – выигрышная позиция. Аналогично далее 251, 252, … 499 – проигрышные позиции, а 250 – выигрышная позиция. Рассуждая далее аналогично, получаем выигрышные позиции 125, 62, 31, 15, 7, 3. Таким образом, первым ходом первый игрок попадает в выигрышную позицию: 2 + 1 = 3. Чтобы выиграть, он должен придерживаться следующей стратегии: каждый свой ход делать в выигрышную ситуацию. Очевидно, что такая возможность у него всегда есть. Рассмотрим данную стратегию:
|
|
|
| Ход | Первый игрок | Второй игрок |
| 1 | 2 + 1 = 3 | 3 + a |
| 2 | 3 + a + 4 – a = 7 | 7 + b |
| 3 | 7 + b + 8 – b = 15 | 15 + c |
| 4 | 15 + c + 16 – c = 31 | 31 + d |
| 5 | 31 + d + 31 – d = 62 | 62 + e |
| 6 | 62 + e + 63 – e = 125 | 125 + f |
| 7 | 125 + f + 125 – f = 250 | 250 + g |
| 8 | 250 + g + 250 – g = 500 | 500 + h |
| 9 | 500 + h + 500 – h =1000 |
Таким образом, на девятом ходу первый игрок выигрывает. Ответ: первый.
Дата добавления: 2021-04-15; просмотров: 50; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!