Оценка выборочного корреляционного момента системы двух случайных величин
Рассмотрим систему двух случайных величин X и 7, для которых получены выборочные совокупности объемом и, приведенные в табл. 6.8.
Выборочные совокупности
Таблица 6.8
| Номер испытания j | 1 | 2 | j | п | ||
| X | Х | *2 | Xi | Х„ | ||
| Y | У | У2 | У1 | Уя |
В таблице 6.8 выборочные значения случайных величин х„ у,- связаны между собой принадлежностью к общему j-му признаку. В данном случае это номер испытания.
Если объем выборки невелик, то выборочные средние и исправленные выборочные дисперсии случайных величин X и 7можно сравнительно просто определить по формулам:
В формулах (6.35), (6.36) осуществляется усреднение по объему выборки. Используя аналогичное усреднение по объему выборки для выборочного корреляционного момента случайных величин Хи 7, можно записать:
Выборочный коэффициент корреляции случайных величин будет определяться формулой
Рассмотрим методику определения выборочных значений корреляционного момента и коэффициента корреляции на конкретном примере.
Пример 6.5. Из таблицы приложения 5 по распределению валового регионального продукта Yи количества предприятий и организаций X по регионам Российской Федерации произведена случайная выборка значений Хи Y, приведенная в табл. 6.9.
Таблица 6.9
Случайная выборка значений Ха Y
| Номер региона j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Количество предприятий X, тыс. | 4,3 | 7,3 | 10,2 | 15,7 | 19,9 | 22,4 | 37,4 | 40 | 47,8 | 68,7 |
| ВРП на душу населения Y, тыс. руб. | 7,3 | 5,7 | 6,9 | 23,3 | 19,8 | 13,5 | 20,2 | 17,8 | 14,0 | 15,8 |
Определить выборочный корреляционный момент и выборочный коэффициент корреляции случайных величин Хи Y.
|
|
|
Решение. По формулам (6.35) определяем выборочные средние случайных величин:
По формулам (6.36) определяем исправленные выборочные дисперсии:
По формуле (6.37) определяем выборочный корреляционный момент
По формуле (6.38) определяем выборочный коэффициент корреляции случайных величин
При большом объеме выборки и, когда вычисления по формулам (6.35) — (6.37) становятся слишком громоздкими, корреляционный анализ можно проводить по сгруппированным выборкам. Для этого в соответствии с методикой, изложенной в подразделе 6.2, определяется размах вариации случайных величин Хи Y:
По формуле (6.3) определяется ориентировочно число интервалов разбиения вариаций X и Y. Даже при одинаковых объемах выборки случайных величин Хи Yфактическое число интервалов разбиения кх и ку, исходя из условий удобства и повышения точности вычислений, может быть кх * ку.
Далее по формуле (6.2) определяется шаг интервалов для случайных величин X, Y:
|
|
|
записываются границы каждого интервала по Хи по У 
и определяются середины каждого интервала:
По вычисленным значениям границ интервалов случайных величин X, У выборочная совокупность преобразуется в вариационный ряд системы случайных величин X, У(табл. 6.10).
Таблица 6.10
Вариационный ряд систем случайных величин
| Номер интервала / | 1 | 2 | 
| 
| 
| 
| |
| Номер интервала j | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 1 | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 2 | 
| 
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
|
|
|
| 
| |
| j | 
| 
| 
|
| 
|
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| ку | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
В поле таблицы 6.10 указываются частоты mjh которые характеризуют число выпадения случаев, когда одновременно выполняются два условия: yJm< Y<yjmax</y и x,min <Х< x,max. При правильном преобразовании выборочной совокупности в вариационный ряд системы случайных величин X, /должны выполняться следующие условия.
1. Сумма частот ту каждой строки равна частоте попадания случайной величины ву'-й интервал т/.
2. Сумма частот ту каждого столбца равна частоте попадания случайной величины X в г-й интервал mxi:
|
|
|
3. Сумма частот mxi или myj должна быть равна объему выборки п:
Вариационный ряд (табл. 6.10) системы случайных величин X, Y является аналогом совместного распределения системы дискретных случайных величин х, ср; ууср, так как относительные частоты
характеризуют совместную вероятность выполнения двух условий: У) mm <y< yjmax; Xi</y<>nun < X< x, max. Тогда с учетом формул (6.39), (6.40) и (6.42) формулы (6.9) и (6.14) для выборочных величин преобразуются к виду:
1) выборочные средние:
2) выборочные дисперсии:
3) для выборочного корреляционного момента по аналогии с формулой (2.22) можно записать:
4) выборочный коэффициент корреляции гху определяется формулой
Как всякая выборочная оценка, выборочный коэффициент корреляции, рассчитанный по формулам (6.43) — (6.46), является случайной величиной.
Значение выборочного коэффициента корреляции, рассчитанное по конкретной выборочной совокупности, может быть отлично от нуля, даже если случайные величины X и У независимы. Значит, для проверки гипотезы об отсутствии (или наличии) корреляции между случайными величинами Хи Yнеобходимо установить, значимо ли полученное отличие выборочного коэффициента корреляции гху от нуля. Для этого проверим гипотезу Н0 о равенстве нулю коэффициента корреляции р генеральной совокупности случайных величин X и 7. Проверку гипотезы Н0 можно выполнить по случайной величине
|
|
|
которая имеет распределение Стьюдента с v = п — 2 степенями свободы (рис. 6.7).
Рис. 6.7. Плотность вероятности распределения Стьюдента
Величину Т называют Г-статистикой Стьюдента. Если при заданном уровне значимости р
вычисленное экспериментальное значение
по абсолютной величине не превышает критического значения 'кр(Р; V) 
то принимается гипотеза Я0 о равенстве нулю коэффициента корреляции рху генеральной совокупности случайных величин X, Y.
Если КкспИкрФ; v), то корреляционную связь между случайными величинами X, Yследует признать существенной. Критические значения tKp( р; v) приведены в приложении 3.
Дата добавления: 2021-04-05; просмотров: 167; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!