Исследование функции на монотонность с помощью производной

Понятие множества, виды множеств, подмножества (с примерами).

Множество – это совокупность некоторых объектов.

В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A1, A2 и т. д.

Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a1, a2 и т. д.

Границы совокупности обозначаются фигурными скобками { }.

Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.

Пример: N = {a, b, c, y}, а Є N – элемент «а» принадлежит N.

Подмножество данного множества – это множество, все элементы которого принадлежать данному множеству и обозначается знаком - ⊆.

Пример: А = {а, в, с, у} и В = {а, в, с, е, к} – все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно, А ⊆ В.

Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.
Пример: А = {23, 29, 48} и В = {23, 29, 48}, тогда А = В.

2.Операции над множествами

Пересечение множеств – это множество все элементы которого принадлежат каждому из этих множеств. Обозначается знаком ∩.

Применяются 2 закона:

· Переместительный (A∩B; B∩A);

· Сочетательный (A∩(B∩C); AB∩C);

Пример: В = {1, 6, 17} и С = {2, 13, 18}, В ∩ С= {1, 2, 6, 13, 17, 18}.

Объединение множеств – это множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств. Обозначается значком ∪.

Пример: В = {36, 42, 53, 64} и С = {32, 42, 55, 66}, В ∪ С = {42}.

Разность множеств – это множество, все элементы множества А не принадлежащих множеству В. Обозначается значком /.

Пример: В = {12, 14, 16, 18} и С = {13, 14, 15, 17}, В / С = {14}. В случае, когда В / С = С /

3. Операции над высказываниями. Операция отрицания. Конъюнкция высказываний.

Отрицанием(инверсия) – это логическое операция, при котором если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот.

Обозначение отрицания A¯ читается «не A».
0 – «ложь»,

1 – «истина»

A	A¯
0	1
1	0

Конъюнкция – это логическая операция, истины тогда и только тогда, когда оба исходных высказываний истины.

Обозначение конъюнкции A ∧ B, читается «А и В».

A	B	A ∧ B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Операции над высказываниями. Дизъюнкция высказываний.

Дизъюнкция – логическая операция, которая ложно тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания А и В.

Высказывание А∨B читается «А или В».

Операция дизъюнкции соответствует образованию нового высказывания из данных А и В соединением их связкой «или», где «или» понимается в соединительном (хотя бы одно), а не в разделительном (либо - либо) смысле.

A	B	A ∨ B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

5. Определение производной функции. Правило 4-х шагов. Производная постоянной.

Производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δf к приращению аргумента Δx, когда последняя стремится к нулю:

Общее правило дифференцирования:

1. Придавая аргументу x приращение Δx и подставляя в выражение функции вместо аргумента x наращенное значение x+Δx, находим наращенное значение функции: y+Δy=f(x+Δx).

2. Вычитая из наращенного значения функции ее первоначальное значение, находим приращение функции: Δy=f(x+Δx)-f(x).

3. Делим приращение функции Δy на приращение аргумента Δx, т. е. составляем отношение

4. Находим предел этого отношения при Δx -> 0, т. е. .

Этот предел и есть производная от функции y=f(x).

Производная постоянной равна нулю: C ' = 0

6. Производная линейной функции. Производная алгебраической суммы.

Производная суммы функций равна сумме производных каждой из функций: (u+v)′=u′+v′

7. Производная произведений двух функций

Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй множитель плюс произведение первого множителя на производную второго множителя:

8. Производная частного двух функций. Вывести производную функций y = tgx

Производная частного равна разности произведения производной числителя на знаменатель и произведения числителя на производную знаменателя, деленной на квадрат знаменателя.