ПРИМЕР РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ВСЕМИ ТРЕМЯ МЕТОДАМИ
Решить систему линейных алгебраических уравнений методами Крамера, Гаусса и матричным методом.
I. Метод Крамера.
Количество уравнений (3) равно количеству переменных (3), значит, матрица системы квадратная и имеет определитель.
Вычислим определитель матрицы системы:
- значит, система уравнений имеет единственное решение, которое находят по формулам Крамера: 
, 
.
Заменяем 1–й столбец столбцом свободных членов
Заменяем 2-й столбец столбцом свободных членов
Заменяем 3-й столбец столбцом свободных членов
Ответ: 
.
II. Матричный метод.
Данную систему уравнений можно записать в матричной форме 
:
, откуда 
.
Найдем матрицу, обратную матрицу 
. Так как 
, такая матрица существует. Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы по формуле 
:
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
.
Тогда
.
А теперь найдем решение системы:
.
Ответ: .
III. Метод Гаусса.
Выполним преобразования:
Сделаем коэффициенты при х равными нулю.
Т.к. коэффициенты при z во II и III уравнениях системы равны, то можно из III уравнения вычесть II уравнение.
Таким образом, получили, что II уравнение системы есть уравнение с одной переменной, значит, можно вычислить значение переменной у.
Теперь последовательно, с помощью подстановки, вычисляем значения
|
|
|
переменных z и х.
Ответ: .
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Операции над матрицами.
1.1. Что такое матрица?
1.2. Какие виды матриц Вы знаете?
1.3. Что означает размер матрицы m?n?
1.4. Какую матрицу называют квадратной?
1.5. Какие две матрицы можно сложить?
1.6. Когда две матрицы можно перемножить?
1.7. Матрицу какого вида можно возвести в степень?
1.8. В чем суть транспонирования матрицы?
1.9. При транспонировании размер матрицы не изменился. Матрицу какого вида транспонировали?
2. Свойства определителей.
2.1. Что можно сказать об определителе матрицы, у которой:
2.1.1 одна строка содержит только нулевые элементы;
2.1.2 элементы двух столбцов равны;
2.1.3 элементы двух строк пропорциональны;
2.1.4 две строки матрицы поменяли местами;
2.1.5 к элементам одного столба прибавили соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и то же число.
2.2. Сравните определители матрицы и матрицы 
, транспонированной по отношению к матрице .
2.3. Как вычисляют определители квадратных матриц:
2.3.1 второго порядка;
2.3.2 третьего порядка;
2.3.3 четвертого порядка
2.4. Чем матрица отличается от определителя матрицы?
|
|
|
3. Обратная матрица.
4.1. Какую матрицу называют обратной?
4.2. Для какой матрицы существует обратная?
4.3. Какой вид имеет обратная матрица?
4.4. Сформулируйте теорему об обратной матрице.
4.5. Перечислите этапы нахождения элементов обратной матрицы.
4. Метод Крамера.
5.1. Сформулируйте теорему Крамера и запишите формулы Крамера.
5.2. Перечислите этапы решения системы неоднородных линейных уравнений методом Крамера.
5.3. Для каких систем уравнений (количество уравнений и переменных в них) применим метод Крамера?
5. Метод Гаусса.
6.1. В чем суть метода Гаусса?
6.2. Что применяют для получения треугольной (ступенчатой) системы уравнений?
6.3. Для каких систем уравнений (количество уравнений и переменных в них) применим метод Гаусса?
6. Матричный метод.
7.1. В чем суть матричного метода?
7.2. Для каких систем уравнений (количество уравнений и переменных в них) применим матричный метод?
7.3. Матрицу какого вида используют для решения системы матричным методом?
7.4. Какое равенство используют для решения системы матричным методом?
Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 68; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!