Определение определителя квадратной матрицы.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ».
I . « ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ »
I. ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ.
Существуют различные способы решения самых разнообразных задач, как математических, так и по специальности. Т.к. математическое моделирование рассматривает и абстрагирует любые объекты, то, например, задача о производстве мучных изделий из имеющегося сырья (данные расположены в таблице ниже)
| Продукт | Блинчики | Оладьи | Вареники | Масса имеющегося сырья |
| Мука | 0,416 кг | 0,481 кг | 0,695 кг | 5 кг |
| Яйца | 0,83 кг | 0,23 кг | 0,53 кг | 0,5 кг |
| Соль | 0,008 кг | 0,009 кг | 0, 012 кг | 0,1 кг |
может быть решена с помощью системы трех уравнений с тремя переменными:
Решить такую систему школьными методами довольно трудоемко, а если получится система с большим количеством уравнений и входящих в них переменных, то и невозможно.
Однако, существуют другие методы решения таких систем, и в этих методах огромную, решающую роль играют коэффициенты при переменных и свободные члены уравнений системы.
Для этого делают следующую запись:
Такую запись (она имеет вид таблицы) называют матрицей – матрица позволяет определить другие понятия и решение многих систем различными методами
Понятие матрицы и раздел математики, ее изучающий, имеют чрезвычайно важное значение для экономистов – значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой и компактной матричной форме.
|
|
|
Матрицы широко используются в планировании производства и транспортных перевозок. Они позволяют разрабатывать различные варианты плана, облегчают исследования зависимости между разными экономическими показателями.
Матрицей размера 
называется прямоугольная таблица чисел, содержащая 
строк и 
столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Рассмотрим еще один пример перехода от таблицы к матрице, с помощью которого разберемся в сути записи матрицы, ее обозначении, нахождении ее размера.
Получаем следующую запись:
,
где есть прочерки, которые в математике заменяет ноль.
Матрицы обозначаются заглавными прописными буквами латинского алфавита 
, а размер записывается под обозначением матрицы, причем, согласно определения матрицы, на первом месте записывается количество строк, а на втором – количество столбцов.
Таким образом, получаем:
= 
.
Для обозначения элементов матрицы в общем виде используются строчные латинские буквы с двойной индексацией:
|
|
|
, где 
- номер строки, 
- номер столбца.
Пример записи матрицы в общем виде:
,
или в сокращенной форме: 
, где 
Рассмотрим еще примеры таблиц и матриц:
I. Таблица распределения ресурсов по отделениям отраслям экономки (усл. ед.)
| Ресурсы | Отрасли экономики | |
| промышленность | сельское хозяйство | |
| электроэнергия | 5,4 | 4,2 |
| трудовые ресурсы | 2,7 | 2,1 |
| водные ресурсы | 4,8 | 5,1 |
может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:
В этой записи матричный элемент 
показывает, сколько электроэнергии потребляет промышленность, а элемент 
- сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.
II. Малое предприятие вырабатывает 4 вида продукции A, B, C, D, используя на каждую из них разное количество двух материалов и работы (количества рабочего времени). Конкретная информация указана в таблице.
| Изделия | A | B | C | D |
| Единица материала X | 250 | 300 | 170 | 200 |
| Единица материала Y | 160 | 230 | 75 | 0 |
| Количество рабочего времени | 80 | 85 | 120 | 100 |
В этой ситуации есть 12 действительных чисел, которые можно упорядочить и записать в виде матрицы:
Каждый ряд и каждый столбец этой матрицы имеет определенный смысл. Например, элементы 2го ряда указывают количество материала Y, затраченного на производство продукции A, B, C, D, а элементы 2го столбца матрицы указывают количество затраченных материалов X, Y и рабочего времени на производство продукции B.
|
|
|
II. Виды матриц
1. Две матрицы 
и 
одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. 
для любых 
.
2. 3. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей– строкой, а из одного столбца – матрицей -столбцом:
- матрица-строка; 
= 
.
- матрица-столбец, 
.
o Матрица называется квадратной -го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно .
Пример:
- квадратная матрица 3го порядка
Элементы матрицы 
, у которых номер столбца равен номеру строки 
, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.
Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы 
.
o Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрицы называется диагональной.
Пример:
- диагональная матрица 4-го порядка
o Если у диагональной матрицы 
-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей -го порядка и обозначается 
.
|
|
|
Пример:
- единичная матрица третьего порядка.
7. Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю.
III. Операции над матрицами
1). Транспонирование матрицы -
- переход от матрицы 
к матрице 
, в которой строки и столбцы поменялись местами. Матрица называется транспонированной по отношению к матрице .
, 
.
Пример:
= ; 
2). Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы на число 
называется матрица 
, каждый элемент которой 
для 
.
Т.е., чтобы умножить матрицу на число, надо умножить на это число каждый элемент матрицы.
Пример:
, тогда
Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
Пример: Вынести за знак матрицы общий множитель.
= 
.
Произведение матрицы на число 
есть нулевая матрица: 
.
3) Сложение матриц.
Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С=А+В, каждый элемент которой 
Т.е., чтобы сложить две матрицы одинакового размера, надо сложить их соответствующие элементы.
Пример: 
4) Умножение матриц.
Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов матрицы равно число строк матриц , т.е. они согласованы.
Произведением матриц 
называется такая матрица 
, каждый элемент которой 
равен сумме произведений элементов строки 
матрицы 
на соответствующие элементы столбца 
матрицы 
.
Пример:
5) Возведение в степень.
Целой положительной степенью 
квадратной матрицы называется произведение 
матриц, равных , т.е.
. По определению полагают, 
.
Пример:
II .«ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ
И ИХ СВОЙСТВА»
Определение определителя квадратной матрицы.
Необходимость введения определителя – числа, характеризующего квадратную матрицу А, - тесно связана с решением систем линейных уравнений. Именно определитель квадратной матрицы системы дает
ответ на вопрос, имеет ли решение система уравнений.
Определитель матрицы А обозначается 
или 
.
Определителем квадратной матрицы первого порядка 
, или определителем первого порядка, называется число 
: 
.
Пример: Вычислить определитель квадратной матрицы первого порядка 
.
Решение: 
Определителем квадратной матрицы второго порядка 
где i = j =1,2, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Пример: Вычислить определители матриц второго порядка А= 
В= 
Решение:
Определителем матрицы третьего порядка А= 
где i = j =1,2,3, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Определитель третьего порядка удобно вычислять, пользуясь правилом Сарруса или правилом треугольников:
(+)
(главная диагональ)
|
| 
(-)
(другая диагональ)
|
Пример: Вычислить определители квадратных матриц третьего порядка
А= 
В= 
Решение:
Определение определителя квадратной матрицы n-го порядка, n >3, весьма громоздко и требует введения новых сложных понятий. Поэтому рассмотрим достаточно доступный способ вычисления определителя n-го порядка, где 
.
Пусть дана квадратная матрица А n-го порядка.
Минором 
элемента матрицы n -го порядка называется определитель матрицы ( n -1)–го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием строки i и столбца j .
Например, минором элемента 
матрицы А третьего порядка является определитель второго порядка, получаемый вычеркиванием второй строки и третьего столбца:
Пример: Для данной матрицы А = 
записать миноры элементов 
.
Решение:
; 
.
Алгебраическим дополнением 
элемента 
матрицы n -го порядка называется его минор, взятый со знаком 
:
Пример: Записать алгебраические дополнения элементов матрицы А= .
Решение: Воспользуемся уже найденными минорами этих элементов.
; 
;
; 
.
Т.е., минор и алгебраическое дополнение одного и того же элемента матрицы могут либо совпадать (если сумма индексов есть число четное), либо быть числами противоположными (если сумма индексов есть число нечетное).
Важное значение для вычисления определителей n-го порядка, где . имеет следующая теорема:
Теорема (частный случай теоремы Лапласа):
Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 61; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!