Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Случай (a − b)(a + b) можно распространить для любых a и b. Проще говоря, если при решении задачи потребуется умножить разность двух выражений на их сумму, то это умножение можно заменить на разность квадратов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 5)(2x + 5)

В этом примере разность выражений 2x и 5 умножена на сумму этих же выражений. Тогда согласно формуле (a − b)(a + b) = a² − b² имеем:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x)² − 5²

Вычислим правую часть, получим 4x² − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x)² − 5² = 4x² − 25

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой (a − b)(a + b) = a² − b². У нас получится тот же результат 4x² − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x² − 10x + 10x − 25 = 4x² − 25

Пример 2. Выполнить умножение (4x − 5y)(4x + 5y)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a² − b²

(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x)² − (5y)² = 16x² − 25y²

Пример 3. Выполнить умножение (2a + 3b)(2a − 3b)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a² − b²

(2a + 3b)(2a − 3b) = (2a)² − (3b)² = 4a² − 9b²

В данном примере сумма членов 2a и 3b располагалась раньше, чем разность этих членов. А в формуле (a − b)(a + b) = a² − b² разность располагается раньше.

Нет никакой разницы как располагаются сомножители (a − b) в (a + b) в формуле. Они могут быть быть записаны как (a − b)(a + b), так и (a + b)(a − b). Результат по прежнему будет равен a² − b², поскольку от перестановки сомножителей произведение не меняется.

Так и в данном примере сомножители (2a + 3b) и (2a − 3b) можно записать как (2a + 3b)(2a − 3b), так и (2a − 3b)(2a + 3b). Результат всё так же будет равен 4a² − 9b².

Умножение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на неполный квадрат их суммы. Выглядит это произведение следующим образом:

(a − b)(a² + ab + b²)

Первый многочлен (a − b) является разностью двух выражений, а второй многочлен (a² + ab + b²) является неполным квадратом суммы этих двух выражений.

Неполный квадрат суммы это многочлен вида a² + ab + b². Он похож на обычный квадрат суммы a² + 2ab + b² за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4x² + 6xy + 9y² является неполным квадратом суммы выражений 2x и 3y.

Действительно, первый член выражения 4x² + 6xy + 9y², а именно 4x² является квадратом выражения 2x, поскольку (2x)² = 4x². Третий член выражения 4x² + 6xy + 9y², а именно 9y² является квадратом выражения 3y, поскольку (3y)² = 9y². Член находящийся в середине 6xy, является произведением выражений 2x и 3y.

Итак, умножим разность (a − b) на неполный квадрат суммы a² + ab + b²

(a − b)(a² + ab + b²) = a(a² + ab + b²) − b(a² + ab + b²) =
a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ = a³ − b³

То есть выражение (a − b)(a² + ab + b²) равно a³ − b³

(a − b)(a ² + ab + b ² ) = a ³ − b ³

Это тождество называют формулой умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²)

Первый многочлен (2x − 3y) это разность двух выражений 2x и 3y. Второй многочлен 4x² + 6xy + 9y² это неполный квадрат суммы двух выражений 2x и 3y. Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³. В нашем случае умножение (2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²) можно заменить на разность кубов 2x и 3y

(2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²) = (2x)³ − (3y)³ = 8x³ − 27y³

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²) = 2x(4x² + 6xy + 9y²) − 3y(4x² + 6xy + 9y²) =
8x ³ + 12x²y + 18xy² − 12x²y − 18xy² − 27y³ = 8x³ − 27y³

Пример 2. Выполнить умножение (3 − x)(9 + 3x + x²)

Первый многочлен (3 − x) является разностью двух выражений, а второй многочлен является неполным квадратом суммы этих двух выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³

(3 − x)(9 + 3x + x²) = 3³ − x³ = 27 − x³

Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности

Встречаются задачи, в которых требуется умножить сумму двух выражений на неполный квадрат их разности. Выглядит это произведение следующим образом:

(a + b)(a² − ab + b²)

Первый многочлен (a + b) является суммой двух выражений, а второй многочлен (a² − ab + b²) является неполным квадратом разности этих двух выражений.

Неполный квадрат разности это многочлен вида a² − ab + b². Он похож на обычный квадрат разности a² − 2ab + b² за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4x² − 6xy + 9y² является неполным квадратом разности выражений 2x и 3y.

(2x)² − 2x × 3y + (3y)² = 4x² − 6xy + 9y²

Вернёмся к изначальному примеру. Умножим сумму a + b на неполный квадрат разности a² − ab + b²

(a + b)(a² − ab + b²) = a(a² − ab + b²) + b(a² − ab + b²) =
a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³

То есть выражение (a + b)(a² − ab + b²) равно a³ + b³

(a + b)(a ² − ab + b ² ) = a ³ + b ³

Это тождество называют формулой умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Эту формулу можно прочитать так:

---

Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 115; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!