Умножение разности двух выражений на их сумму
Формулы сокращённого умножения
Существует ряд случаев, когда умножение многочлена на многочлен можно значительно упростить. Таковым к примеру является случай (2x + 3y)2.
Выражение (2x + 3y)2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (2x + 3y)
(2x + 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y)
Получили умножение многочлена на многочлен. Выполним его:
(2x + 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y) = 4x2 + 6xy + 6xy + 9y2 = 4x2 + 12xy + 9y2
То есть выражение (2x + 3y)2 равно 4x2 + 12xy + 9y2
(2x + 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
Решим аналогичный пример, который попроще:
(a + b)2
Выражение (a + b)2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (a + b)
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
Выполним это умножение:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
То есть выражение (a + b)2 равно a2 + 2ab + b2
(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
Оказывается, что случай (a + b)2 можно распространить для любых a и b. Первый пример, который мы решили, а именно (2x + 3y)2 можно решить с помощью тождества (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Для этого нужно подставить вместо переменных a и b соответствующие члены из выражение (2x + 3y)2. В данном случае переменной a соответствует член 2x, а переменной b соответствует член 3y
a = 2x
b = 3y
И далее можно воспользоваться тождеством (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, но вместо переменных a и b нужно подставлять выражения 2x и 3y соответственно:
(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 × 2x × 3y + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
Как и в прошлый раз получили многочлен 4x2 + 12xy + 9y2. Решение обычно записывают покороче, выполняя в уме все элементарные преобразования:
(2x + 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
Квадрат разности двух выражений
|
|
|
Формула квадрата разности двух выражений выглядит следующим образом:
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Эту формулу можно прочитать так:
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Формула квадрата разности двух выражений выводится таким же образом, как и формула квадрата суммы двух выражений. Выражение (a − b)2 представляет собой произведение двух многочленов, каждый из которых равен (a − b)
(a − b)2 = (a − b)(a − b)
Если выполнить это умножение, то получится многочлен a2 − 2ab + b2
(a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − ab − ab + b2 = a2 − 2ab + b2
Пример 1. Преобразовать выражение (7x − 5)2 в многочлен.
Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(7x − 5)2 = (7x)2 − 2 × 7x × 5 + 52 = 49x2 − 70x + 25
Значит, (7x − 5)2 = 49x2 − 70x + 25.
Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата разности. У нас должен получиться тот же результат:
(7x − 5)2 = (7x − 5)(7x − 5) = 49x2 − 35x − 35x + 25 = 49x2 − 70x + 25.
Куб суммы и куб разности
Формулы куба суммы двух выражений и куба разности двух выражений выглядят следующим образом:
|
|
|
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Формулу куба суммы двух выражений можно прочитать так:
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
А формулу куба разности двух выражений можно прочитать так:
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
При решении задач желательно знать эти формулы наизусть. Если не запомнили — не беда! Их можно выводить самостоятельно. Мы это уже умеем.
Выведем формулу куба суммы самостоятельно:
(a + b)3
Выражение (a + b)3 представляет собой произведение из трёх многочленов, каждый из которых равен (a + b)
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)
Но выражение (a + b)3 также может быть записано как (a + b)(a + b)2
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2
При этом сомножитель (a + b)2 является квадратом суммы двух выражений. Этот квадрат суммы равен выражению a2 + 2ab + b2.
Тогда (a + b)3 можно записать как (a + b)(a2 + 2ab + b2).
(a + b)3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
|
|
|
А это есть умножение многочлена на многочлен. Выполним его:
(a + b)3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Аналогично можно вывести формулу куба разности двух выражений:
(a − b)3 = (a − b)(a2 − 2ab + b2) = a3 − 2a2b + ab2 − a2b + 2ab2 − b3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Пример 1. Преобразуйте выражение (x + 1)3 в многочлен.
Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(x + 1)3 = x3 + 3 × x2 × 1 + 3 × x × 12 + 13 = x3 + 3x2 + 3x + 1
Попробуем решить данный пример, не используя формулу куба суммы двух выражений. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:
(x + 1)3 = (x + 1)(x + 1)(x + 1) = (x + 1)(x2 + 2x + 1) = x3 + 2x2 + x + x2 + 2x + 1 = x3 + 3x2 + 3x + 1
Пример 2. Преобразовать выражение (6a2 + 3b3)3 в многочлен.
Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(6a2 + 3b3)3 = (6a2)3 + 3 × (6a2)2 × 3b3 + 3 × 6a2 × (3b3)2 + (3b3)3 = 216a6 + 3 × 36a4 × 3b3 + 3 × 6a2 × 9b6 + 27b9
Умножение разности двух выражений на их сумму
Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на их сумму. Например:
(a − b)(a + b)
В этом выражении разность двух выражений a и b умножена на сумму этих же двух выражений. Выполним данное умножение:
(a − b)(a + b) = a2 + ab − ab − b2 = a2 − b2
То есть выражение (a − b)(a + b) равно a2 − b2
|
|
|
(a − b)(a + b) = a 2 − b 2
Видим, что при умножении разности двух выражений на их сумму, получается разность квадратов этих выражений.
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 139; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!