Разложение функции, заданной на части промежутка

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

До сих пор мы говорили о разложении в тригонометрический ряд функции, заданной на отрезке . Рассмотрим теперь случай, когда задана лишь на части этого отрезка, где (рис. 4) Будем предполагать дифференцируемой на этом отрезке, и поставим вопрос о построении такого тригонометрического ряда

, (3)

в который разлагалась бы функция .

Рис. 4

Эту задачу можно решить так: выберем совсем произвольную функцию , заданную и дифференцируемую на отрезке и определим на всём отрезке «составную» функцию , положив

График изображён на рис. 5.

- а

Рис. 5

Функция разлагается в свой ряд Фурье на всём отрезке , за исключением может быть трёх точек и . В этих точках сумма ряда будет соответственно равна

Поскольку, при «составная функция совпадает с , то для этих х будет

Если подбирать с условием , то окажется и равенство будет верно и при . Нако- нец, условие обеспечит справедливость равенства и при

Таким образом, поставленная задача имеет решение. Однако это решение не единственно : ведь функцию мы могли выбирать бесконечным множеством способов, а выбор этой функции определяет коэффициенты ряда.

Например,

Поэтому (в отличие от функции, заданной на всём отрезке ) функция, заданная на более коротком отрезке, допускает бесконечное множество представлений вида (3). Здесь не имеет место теорема о единственности.

Всё сказанное о тносится, в частности, и к отрезку . Но тут появляется некое новое обстоятельство. Именно, если мы захотим, взять такой, чтобы «составная функция» оказалась чётной (рис. 9).

Рис. 6

Это приводит к разложению

, (4)

в котором

. (5)

Нетрудно видеть, что формула (4) верна на всём отрезке .

С другой стороны, мы можем выбрать и так, чтобы функция оказалась нечётной (рис. 7). Это приведёт нас к разложению

, (6)

в котором

. (7)

Рис. 7

Формула (6) верна при . Чтобы она была верна при , необходимо, чтобы было , так как правая часть равенства (6) обращается в ноль при . Точно также для справедливости формулы (6) в точке необходимо, чтобы было .

Таким образом, имеет место.

ТЕОРЕМА 1. Функцию , заданную и дифференцируе - мую на отрезке можно бесконечным множеством спо- собов разложить в тригонометрический ряд. В частности, её можно разложить по косинусам в ряд (4), коэффициенты которого определяются формулами (5), или в ряд по синусам (6) с коэффициентами (7).

ПРИМЕРЫ. 1). Пусть . Разложить эту функцию в ряд по косинусам

Рис. 8

Здесь

Отсюда, при будет

(8)

В частности, при мы снова находим

Сумма ряда (8) является - периодической и чётной функцией. Её график изображён на рис. 8.

2). Пусть функция , заданная на , разложена в тригонометрический ряд по синусам. Найти сумму ряда в точках

Решение. а) Так как то

Так как нечётная, то

с) ,

так как при все члены ряда обращаются в ноль

Сдвиг основного промежутка.

Всю теорию рядов Фурье мы излагали для функций, заданных на отрезке Однако вместо этого отрезка можно было бы положить в основу любой другой отрезок длины . Дело в том, что это период всех функций сис- темы :

(9) и справедлива

ТЕОРЕМА 2. Если функция имеет период равный то интеграл не зависит от числа а.

В самом деле,

(10)

В последнем интеграле справа можно сделать замену , дающую

Таким образом, первый и третий интегралы правой части (10) взаимно уничтожаются и

чем и доказана теорема.

В частности, из неё следует, что 1) любые две функции системы (9) взаимно ортогональны на всяком отрезке длины и 2) при всяком будет

Следовательно, всю теорию можно перенести с отрезка на любой отрезок Например, верна:

ТЕОРЕМА 3. Если функция дифференцируема на от- резке то всюду на открытом промежутке будет

(11)

где

Ряд (11) сходится и в точках , где его сум -ма равна

ПРИМЕР. Разложить в ряд Фурье функцию , рассматриваемую на отрезке

Здесь

Следовательно, при будет

. (12)

В частности, при получаем уже знакомое равенство

В точках сумма ряда (12) равна .

Нетрудно понять, что

§ 4. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ

ПЕРИОДОМ.

Мы видели, что ряды вида

(1)

являются хорошим аналитическим аппаратом для представ- ления функций, заданных на промежутке длины .

Рассмотрим теперь функции заданные на отрезке длины . Пусть для определённости речь идёт о функции заданной и дифференцируемой на отрезке По- ложим

Тогда будет заданной и дифференцируемой уже на отрезке Значит, к применима теория, изложен -ная выше, и потому при будет

Положим в этом равенстве .

Тогда для получаем равенство

. (2)

В точках сумма ряда равна

Остановимся на коэффициентах ряда (2). Например,

Подстановка даёт

Аналогично,

Что касается функций, заданных и дифференцируемых на отрезке то они допускают бесчисленное множество разложений вида (2). В частности, их можно разлагать по косинусам и по синусам. Последнее разложение имеет вид

где

(3)

ПРИМЕРЫ.

1. Найти разложение в ряд Фурье функции:

-2 0 2 Рис. 9

Найдём коэффициенты Фурье. тогда

Для первого интеграла применим формулу интегрирования по частям;

Для первого интеграла применим формулу интегрирования

по частям;

Следовательно, на промежутке ряд Фурье имеет вид

2. Найти ряд Фурье для чётной функции:

-3 0 3 6

Рис. 10

, функция чётная, поэтому . Найдём остальные коэффициенты ряда, учитывая, что при

Тогда получаем:

3. Разложить функцию в неполный ряд Фурье по .

Дополним график функции нечётным образом.

-2 -1 0 1 2

-1

Рис. 11

В данном примере . Коэффициенты

находим по формуле:

Второй интеграл снова интегрируем по частям:

Тогда:

§ 5 РЯД ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ.

Пусть дан ряд Фурье для функции на отрезке :

(1) с коэффициентами

(2)

Обратимся к формуле Эйлера:

Отсюда

. (3)

Используя формулы (3), получаем;

Подставим данные выражения в ряд (1)

Полученный ряд и является рядом Фурье в комплексной форме. При этом коэффициенты данного ряда вычисляются по формулам:

аналогично,

Такие же формулы можно получить, преобразовав ряд Фурье для случая произвольного промежутка :

, (4) где

Или

Очевидно, что ряд Фурье в комплексной форме имеет более компактный вид.

В электротехнике и радиотехнике элементы ряда Фурье в комплексной форме

называются гармониками, коэффициенты - комплексными амплитудами, - волновыми числами функции .

ПРИМЕР. Построить ряд Фурье в комплексной форме для функции:

Для данной функции .

-2 -1 0 1 2 3

Рис. 12

При ,

для второго интеграла

При

Следовательно, для всех точек непрерывности функции имеет место равенство:

§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ.

Задача о колебании струны.

Ряды Фурье находят многочисленные применения. Здесь мы покажем, как они используются при решении задачи о колебании струны. Струной называется гибкая нить, не оказывающая сопротивления изгибу.

Рассмотрим струну, которая в начальный момент совмещена с отрезком оси Ох. Мы будем считать, что концы струны и закреплены на оси Ох. Пусть струна растягивается силами и , приложенными к её концам в направлении вдоль оси Ох. Если струну вывести из состояния равновесия и затем предоставить себе самой, то под влиянием растягивающих сил точки струны придут в движение, стремясь вернуться в исходное положение. Однако, придя в это положение, каждая точка струны будет обладать уже некоторой скоростью и по инерции пройдёт дальше своего равновесного положения. При этом дальнейшем движении точек они будут тормозиться растягивающими силами и т.д. Таким образом, струна будет совершать некоторое колебательное движение. Задача состоит в исследовании этого движения.

Сделаем ряд предположений. Прежде всего, мы считаем, что, выводя струну из состояния равновесия, мы придаём ей форму некоторой линии , лежащей на плоскости хОу и не сообщаем точкам струны никаких начальных скоростей. Тогда во всё время движения струна будет находиться в плоскости хОу. Мы будем предполагать, что каждая точка струны совершает только поперечные колебания, перпендикулярные оси Ох. Это колебание мы предположим столь малым, что квадратами отклонений точек струны от оси Ох можно пренебречь. Кроме того, будем считать, что во всё время движения струна будет сохранять пологую форму. Это означает, что угол образуемый касательной к струне с осью Ох, достаточно мал, чтобы можно было считать

(1)

Наконец, мы считаем струну однородной, причём массу единицы длины струны в её нерастянутом состоянии обозначим .

Возьмём какую - либо точку струны, имеющую в начальный момент абсциссу . Так как эта точка будет двигаться перпендикулярно оси Ох, то во время движения её абсцисса не будет меняться. Однако же её будет зависеть от времени, а также от того, о какой точке идёт речь, т.е. от абсциссы этой точки. Таким образом, эта ордината является функцией от и от времени . Эту функцию мы будем обозначать через . Итак, дело сводится к нахождению функции . Ясно, что эта неизвестная функция должна удовлетворять граничным условиям

, (2)

выражающим то, что концы струны в любой момент времени находятся на оси Ох, и удовлетворяют начальным условиям

, (3)

первое из которых выражает то, что в начальный момент струне придана заданная форма , а второе означает, что точки струны не имеют начальных скоростей.

Выведем теперь дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять неизвестная функция . Для этого выделим из струны элементарный отрезок, который в начальный момент совпадает с отрезком оси Ох. В момент этот отрезок представляет собой элементарную дугу линии . Длина этой дуги равна

Пренебрегая членом , (это основано в предпо- ложении пологой формы струныж однако, и значит, а мы считаем, что ) получим

Масса выделенного элемента равна . К этому эле -менту будут приложены растягивающие его силы. Пусть натя- жение струны в точке будет равно .

Рис. 13

Тогда к концам нашего элемента будут приложены силы и . Они направлены по касательным, проведённым к струне в точках и . Обозначим через угол между осью Ох и касательной к струне в точке . В точке этот угол пусть будет равен (Рис. 13).

Обозначим равнодействующую сил, приложенных к концам элемента, через . Тогда векторное уравнение движения эле- мента имеет вид

(4)

Проектируя это уравнение на ось Ох, находим

(5)

(Предостерегаем от недоразумений: символ означает проекцию силы на ось Ох, а - численное значение натяжения в точке ).

Поскольку точки струны движутся перпендикулярно оси Ох, то Стало быть и Но

В силу (1), будет и потому Сопоставляя это с равенством нахо -дим, что Это значит, что величина натяжения струны не меняется вдоль струны. Поскольку же на концах струны это натяжение равно , то и во всех точках струны оно равно , и, вместо и , можно писать . Спроектируем теперь уравнение (4) на ось Оу

. (6)

Так как а (см. (1))

то (6) даёт

( означает приращение угла , когда в закреплённый мо- мент времени абсцисса получает приращение . Поэтому отношение есть, строго говоря, частная произ- водная ). Или

(7)

Вспомним теперь, что . Отсюда

Как и выше, членом можно пренебречь, откуда

Положив для краткости , приводим уравнение (7) к виду

. (8)

Это знаменитое уравнение колебания струны. Мы видим, что это дифференциальное уравнение с частными произ -водными. Такие уравнения до сих пор мы ещё не изучали.

Таким образом, наша механическая задача свелась к чисто математической: найти такое решение уравнения (8), которое удовлетворяет условиям (2) и (3).

Существуют разные способы решить задачу, к которой мы пришли.

Один из способов был предложен в 18 веке Д. Бернулли. Позже, уже в 19 веке, этот способ систематически применялся Фурье для решения целого ряда термодинамических задач, почему он и получил название метода Фурье. Этот способ мы и изложим. Он заключается в том, что сначала решается следующая задача.

Вспомогательная задача: Найти функцию , удовлетворяющую требованиям:

1) тождественно, ( 9)

2) (10)

3) (11)

4) (12)

Отличие вспомогательной задачи от той, которую нам на самом деле нужно решить, состоит в том, что от искомой функции мы уже не требуем, чтобы она удо- влетворяла начальным условиям (3), но зато требуем, чтобы она имела специальный вид , т.е. представлялась в виде произведения функции от одного только на функцию одного только . Кроме того, мы налагаем на функцию естественное условие, а именно она не должна быть тождественным нулём.

Оказывается, что изменённая таким образом задача, решается довольно легко и что она имеет бесконечное множество решений, из которых удаётся составить и решение нашей основной задачи.

Займёмся же поставленной вспомогательной задачей.

Из (9) вытекает существование такой точки , что . Тогда т.е. Подста -вим значение в граничные условия (11):

Отсюда видно, что искомая функция должна удовле- творять условиям:

(13)

Подставляя (12) в (10) получим

т.е.

. (14)

Но (внимание!) правая часть равенства (14) не зависит от . Значит и левая часть (14) от не должна зависеть. С другой стороны, эта левая часть может быть функцией только одного , так как . Значит, левая (а с ней и пра- вая) часть равенства должна быть постоянной величиной. Обозначим эту (неизвестную нам) постоянную через .

Допустим сначала, что . Тогда из (14) следует,

Отсюда и , т.е., должна быть линейной функцией. Подставляя найденное значение в условие (13), получим Но тогда , т.е. , а с ним и , что проти- воречит (9). Таким образом, не существует решения вспомо -гательной задачи, у которой было бы .

Допустим теперь, что , т.е. что где мож -но считать положительным. Тогда

, т.е. .

Общее решение этого линейного уравнения имеет вид

Подставляя найденное значение в (13), получим

Решая эту систему, находим . Это снова приводит к соотношению , противоречащему условию (9). Итак, неравенство тоже оказывается невозможным. Стало быть, вспомогательную задачу можно рассматривать, только предполагая, что неизвестное , т.е., что где . Таким образом,

или

Решение этого уравнения есть

Первое из граничных условий (13) даёт . Значит (заменяя , на ),

Если бы было , то мы не пришли бы к решению нашей вспомогательной задачи, ибо получилось бы проти- воречие с (9). Стало быть . Но тогда второе из условий (13) даёт . Это возможно лишь при

Значит для возможны лишь значения

что приводит к следующим выражениям для :

причём при каждом может принять любое (отличное от 0) значение.

Выберем какое-либо из возможных значений и подста -вим в (14):

Отсюда

т.е.

где и - произвольные постоянные. Обозначая Это через и полагая получаем бесконечное множество решений вспомогательной задачи

. (15)

Здесь а и - произвольные постоянные.

Любая функция (15) удовлетворяет уравнению (10) и граничным условиям (11), причём это верно уже и без ограничений

Заметим теперь, что и уравнение (10) и условия (11) линейны и однородны, т.е. таковы, что сумма функций, удовлетворяющих им, также будет удовлетворять и уравнению и граничным условиям. Поэтому функция

(16)

при условии сходимости выписанного ряда, также будет удо-влетворять уравнению (10) и граничным условиям (11). Отме- тим, что и остаются при этом произвольными посто- янными (при условии, что не нарушается сходимость получен- ного ряда). Чтобы функция (16) была решением интересующей нас (уже не вспомогательной, а основной) задачи, нужно подо- брать и так, чтобы выполнялись начальные условия (3).

Первое условие (3) даёт

(17)

Дифференцируя (16), получим

Полагая и учитывая второе из условий (3), получим

(18)

Чтобы удовлетворить соотношение (18) нужно принять, ( ) Соотношение же (17) показывает, что коэффициенты должны быть коэффициентами разложения функции , заданной на по функциям , т.е

(19)

Сдедовательно, искомое решение имеет вид

где определяется из (19).

ПРИМЕР. Пусть . Найти .

Решение. Найдём сначала разложение (17). Это гораздо проще сделать без использования формул (19), непосредст- венно. Действительно,

Значит, ,

откуда .

2 Распространение тепла в стержне.

В качестве другого применения рядов Фурье рассмотрим задачу о распространении тепла в стержне. Пусть стержень длины весь, кроме своих концов , помещён в теплоизо -лирующую оболочку и нагрет до некоторой температуры, различной в различных его точках. Если этот стержень пре- доставить самому себе, то заключённое в нём тепло будет перетекать от более нагретых точек к менее нагретым, и температура стержня с течением времени станет вырав- ниваться, причём на этот процесс будет влиять также и режим, который поддерживается на концах стержня. Задача состоит в том, чтобы, зная упомянутый режим, и распреде- ление температур вдоль стержня в начальный момент , найти это распределение в последующие моменты . Для этого естественно надо задать и термические характеристики стержня:: его теплоёмкость и коэффициент теплопровод- ности . Напомним, что - это количество калорий, которое нужно подать, чтобы единицу массы стержня (мы считаем его однородным с линейной плотностью нагреть на . Коэф- фициент представляет собой количество тепла ( в калори -ях), которое будет протекать за единицу времени через сечение стержня, если температура стержня падает на при перемещении вдоль стержня на единицу длины. Мы будем обозначать температуру стержня в точке (один из концов стержня (назовём его «левым») фиксируется и точкой называется точка, отстоящая от этого конца на расстояние ) в момент времени через . Это и есть та вели- чина, которую нужно найти. Температуру же стержня в начальный момент мы считаем известной и обозначаем через

. (20)

Что касается температурного режима на концах стержня, этот режим может быть весьма разнообразен. Можно, напри -мер, на концах отрезка поддерживать температуру, изменяю- щуюся по заданным законам , и т.п.), то мы рассмотрим два случая:

А) концы погружены в тающий лёд, т.е. в них поддержи- вается постоянная температура

(21)

В) концы погружены в ту же теплоизолирующую оболочку, что и весь стержень. Это означает, что через концы не про -исходит протекание тепла. Математическое выражение этой за- кономерности мы найдём несколько позже.

Рассмотрим сечение нашего стержня и найдём какое ко- личество тепла протечёт (слева направо) через это сече- ние за элементарный промежуток времени . В мо -мент температура стержня в точке будет равна .

Возьмём отличную от точку стержня. Пусть, для определённости, , т.е. новая точка лежит правее ста -рой. В ней температура стержня в момент будет равна . Таким образом, падение температуры при пере- мещении из в оказывается равным

Следлвательно, на единицу длины стержня (на участке ) приходится падение температуры, равное

Если весьма мало, то найденную величину можно при -нять за Такое падение температуры застави- ло бы за единицу времени перейти сечение количество тепла, равное калорий. За время же через наше сечение перейдёт (слева направо)

(22)

калорий.. (Если то температура падает при перемещении слева направо. В этом случае тепло поте -чёт через сечение также слева направо, т.е. окажется . Это вполне согласуется с тем, что в нашем случае Если же то тепло потечёт справа налево, т.е. будет Но тогда и форму- ла (22) снова будет справедливой.)

Если концы стержня теплоизолированы, то количество тепла, протекающее через них, равно 0, и потому

(23)

Это и есть то выражение режима , о котором мы упомя -нули выше.

Выделим из нашего стержня элементарный отрезок За время через сечение в наш отре- зок войдёт (из расположенной левее части стержня)

калорий. За это же время из нашего отрезка через его конец уйдёт направо

калорий. Стало быть, в рассматриваемом отрезке за время накопится количество тепла, равное

калорий. Поскольку малое приращение функции можно заме -ить её дифференциалом, то

Подача такого количества тепла должна повысить темпе -ратуру единицы массы стержня на

градусов. Поскольку же масса отрезка равна то соответствующее повышение температуры будет

. (24)

С другой стороны, это повышение температуры в точке за время равно

(25)

Приравнивая друг к другу выражения (23) и (24), и, полагая для краткости, получим уравнение теплопровод- ности

. (26)

Таким образом, мы приходим к двум математическим задачам:

А) Найти то решение уравнения (26), которое удовлетво -ряет начальному условию (20) и граничным условиям (21).

В) То же с заменой условий (21) на (23).

Применим к задаче А) метод Фурье. Для этого сначала ре- шим вспомогательную задачу: найти функцию не рав- ную нулю тождественно, удовлетворяющую уравнению (26) и граничным условиям (21) и имеющую специальный вид

(27)

Как и при решении уравнения колебания струны, легко по- казать, что из (21) следует

. (28)

Подставляя (26) в (27), получим

т.е.

. (29)

Соотношение (29) возможно лишь тогда, когда обе его части представляют одну и ту же постоянную. Обозначим её через . На основании (28), допущения невоз-

можны. Следовательно, . Полагая и, букваль -но повторяя рассуждения из 1, по формуле (29) получаем, что

Более того, как и в 1, устанавливаем, что может иметь только одно из значений . Следова -тельно, может иметь любое из выражений

где - произвольные постоянные. Выбирая какое – либо из возможных значений и приравнивая правую часть равенс- тва (29) величине , находим

т.е.

откуда,

где - произвольная постоянная. Полагая , находим бесконечное множество решений вспомогательной за -дачи

. (30)

Каждая из этих функций при любых удовлетворяет уравнению (26) и граничным условиям (21). Ввиду линейности уравнения и граничных условий, сумма

(31)

при любом выборе , сохраняющем сходимость написанного ряда, также будет решением (26), удовлетворяющим (21). По- стараемся же подобрать так, чтобы удовлетворить и на -чальному условию Ясно, что это приводит к равенству

откуда

(32)

Итак задача А) решена. Её решение даётся формулой (31), в которой нужно вычислять по (32).

Полезно заметить, что из (31) следует, что

Физический смысл этого соотношения ясен: всё тепло из стержня вытечет и в нём установится температура льда, в который погружены его концы.

Перейдём к задаче В). Для неё вспомогательная задача состоит в нахождении функции не равной нулю тождественно, удовлетворяющей уравнению (26) и усло- виям (23) Последние дают:

(33)

Подстановка в (26) снова приводит к уравнению

, (34)

где . Случай исключается, как и выше. Но соотношение уже возможно. Оно даёт : откуда

Согласно (33), будет и потому , где - произвольная постоянная. Кроме того, при уравнение (34) даёт , т.е. и , где - постоянная. Следовательно, одним из решений вспомога -тельной задачи будет

При любом выборе (хотя бы и = 0) эта функция удо -влетворяет соотношениям (26) и (23).

Предположим теперь, что . Это даёт уравнение

решение которого имеет вид:

Но тогда

и первое из соотношений (33) даёт так что (после замены на ) принимает вид

Отсюда и из второго условия (69) получим

Значит,

(35)

Таким образом, найдено бесконечное множество выражений функции :

Подставив в (34) одно из значений (35), получим

Отсюда

Положив , находим бесконечное множество функций

удовлетворяющих (26) и (23). Но тогда и

(36)

будет решением (26), удовлетворяющим (23). Остаётся подо -брать так, чтобы оказалось , т.е.

Для этого необходимо взять

(37)

Замечание. Из (36) видим, что

Этим выражен физически очевидный факт, что с течением времени температура в изолированном стержне вырав- нивается. Более того, ясно и значение этой выровненной температуры. Именно, найдём общее количество тепла, содержащегося в нашем стержне. Для этого выделим из него элемент . В начальный момент температура этого элемента равна . Поскольку масса элемента равна , то для получения указанной температуры нужно было накопить в элементе калорий.

Стало быть, общее количество тепла в стержне будет равно

Поскольку стержень изолирован, то это же количество тепла сохранится в нём и при На единицу массы стержня придётся

калорий. Это количество тепла и создаёт в стержне температуру

найденную выше.

§ 7 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ.

Одним из мощных средств исследования задач математической физики является метод интегральных преобразований.

Пусть функция задана на интервале , конечном или бесконечном. Интегральным преобразованием функции называется функция

где фиксированная для данного преобразования функция, называемая ядром преобразования (предполагается, что интеграл (*) существует в собственном или несобственном смысле).

Интеграл Фурье

Всякая функция которая на отрезке удовлет- воряет условиям разложимости в ряд Фурье, может быть на этом отрезке представлена тригонометрическим рядом

(1) Коэффициенты ряда (1) вычисляются по формулам

(2)

Ряд в правой части равенства (1) можно записать в другой форме. С этой целью внесём в него из формул (2) значения коэффициентов , подведём под знаки интегралов и (это возможно, поскольку переменной интегрирования является ) и используем формулу для косинуса разности. Будем иметь:

. (3)

Если функция первоначально была на интервале числовой оси, большем, чем (например на всей оси), то разложение (3) воспроизведёт значение этой функции на отрезке и продолжит её на всю числовую прямую, как периодическую функцию, с пери -одом . Поэтому, если функция (вообще говоря, непериодическая) определена на всей числовой оси, в формуле (3) можно перейти к пределу при . При этом естественно потребовать выполнения следующих условий:

1). удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье на любом конечном отрезке оси Ох;

2). Функция абсолютно интегрируема на всей чис -ловой оси,

(4)

При выполнении условия 2) первое слагаемое правой части равенства (3) при стремится у нулю. В самом деле,

Попытаемся установить, во что перейдёт в пределе при сумма в правой части (3). Положим

так, что . Тогда сумма в правой части (3) примет вид

. (5)

В силу абсолютной сходимости интеграла, эта сумма, при больших , мало отличается от выражения

которое напоминает интегральную сумму для функции пере -менного

составленную для интервала изменения . Поэтому естественно ожидать, что , при , ( сумма (5) перейдёт в интеграл

С другой стороны, при ( фиксировано) из фор -мулы (3) вытекает, что

, (6)

и мы получаем равенство

. (7)

Достаточное условие справедливости формулы (7) выражается следующей теоремой

ТЕОРЕМА 1. Если функция абсолютно интегрируема на всей числовой оси и имеет вместе со своей производной конечное число точек разрыва первого рода на любом отрезке , то справедливо равенство

При этом во всякой точке , являющейся точкой разрыва 1-го рода функции , значение интеграла в правой части (7) равно

Формулу (7) называют интегральной формулой Фурье, а стоящий в её правой части интеграл - интегралом Фурье. Если воспользоваться формулой для косинуса разности, то формулу (7) можно записать в виде

, (8) где

(9)

Функции являются аналогами соответствующих ко - эффициентов Фурье и - периодической функции, но последние определены для дискретных значений , в то время как определены для непрерывных значений .

2. Комплексная форма интеграла Фурье.

Предполагая абсолютно интегрируемой на всей оси Ох, рассмотрим интеграл

Этот интеграл равномерно сходится для , так как и потому представляет собой не- прерывную и, очевидно, нечётную функцию от . Но тогда С другой стороны, интеграл

является чётной функцией от переменной , так что Следовательно, интегральную формулу Фурье можно записать так

. (10)

Умножим равенство

на мнимую единицу и прибавим к равенству (10). Получим Отсюда, в силу формулы Эйлера ( ), будем иметь

(11) Это комплексная форма интеграла Фурье. Здесь внешнее ин- тегрирование по понимается в смысле главного значения по Коши

3. Косинус - и синус – преобразования Фурье.

Пусть функция является кусочно гладкой на любом конечном отрезке оси Ох и абсолютно интегрируема на всей оси.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (12) называется преобразование Фурье функции (спект- ральной функцией ). интегральноеное преобразование функции на интервале с ядром . Используя интегральную формулу Фурье

Получаем (13) это так называемое обратное преобразование Фурье, дающее переход от к

Иногда прямое преобразование Фурье задают так

(14) Тогда обратное преобразование Фурье определяется форму -лой (15)

Преобразование Фурье функции определяют также следующим образом

. (16) Тогда, в сою очередь,

(17)

При этом положение множителя достаточно произ- вольно: он может входить либо в формулу (16) либо в формулу (17).

ПРИМЕР 1. Найти преобразование Фурье функции

Имеем

(18)

Это равенство допускает дифференцирование по под знаком интеграла (получающийся после дифференцирования интеграл равномерно сходится, когда принадлежит любому конечному отрезку)

. Интегрируя по частям, будем иметь:

Внеинткгральное слагаемое обращается в нуль и мы получа- ем Откуда

(19) (С - постоянная интегрирования). Полагая в (19) , найдём . В силу (18), имеем

Известно, что . Поэтому и значит . Таким образом, . В частности, для , получаем, что

ПРИМЕР 2.. (разряд конденсатора через сопротивление). Рассмотрим

Для спектральной функции получаем Отсюда , (см. рис. 14).

О Х

Рис. 14

Условие абсолютной интегрируемости функции на всей числовой оси является весьма жёстким. Оно исключает, например, такие элементарные функции, как для которых преобразования Фурье (в рассматриваемой здесь классической форме) не существует. Фурье – образ имеют только те функции, которые достаточно быстро стремятся к нулю при (как в примерах 1. и 2.)..

Используя формулу косинуса разности, перепишем интег- ральную формулу Фурье

в следующем виде:

(20

Пусть - чётная функция. Тогда

Так что из равенства (20) имеем

. (21) В случае нечётной функции аналогично получаем . (22)

Если функция задана лишь на , то формула (21) продолжает на всю ось Ох чётным образом, а формула (22) - нечётным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (23) ( называется косинус – преобразованием Фурье функции .

Из (21) следует, что для чётной функции . (24) Это означает, что , в свою очередь, является косинус - преобразованием для Иными словами, функции и являются взаимными косинус – преобразованиями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . (25) называется синус – преобразованием функции . Из (22) получаем, что для нечётной функции , (26) т.е. и являются взаимными синус – преобразова -ниями.

4, Свойства преобразования Фурье.

1. Линейность. Если и - преобразования Фурье функций и соответственно, то при любых постоянных и преобразованием Фурье функции является функция .

Пользуясь свойством линейности интеграла, имеем Таким образом, преобразование Фурье - это линейный оператор. Обозначив его через , будем писать или

2. Если - преобразование Фурье абсолютно интегрируемой на всей числовой прямой функции , то ограничено при всех .

В самом деле, пусть функция абсолютно интегрируема на всей оси ,

и пусть

- преобразование Фурье функции . Тогда

3. Преобразование Фурье и операция дифференцирования. Пусть абсолютно интегрируемая функция имеет производную также абсолютно интегрируемую на всей оси Ох, так что стремится к нулю при Считая гладкой функцией, запишем Интегрируя по частям, будем иметь Внеинтегральное слагаемое обращается в ноль, ( так как стремится к нулю при ) и мы получаем (27) Таким образом, дифференцированию функции отвечает умножение её образа Фурье на множитель .

Если функция имеет гладкие абсолютно интегрируемые производные до порядка включительно и все они, как и сама функция , стремятся к нулю при то, интегрируя по частям нужное число раз, получим (28)

Преобразование Фурье очень полезно именно потому, что оно заменяет операцию дифференцирования операцией умножения на величину и тем самым упрощает задачу интегрирования некоторых видов дифференциальных уравнений.

Так как преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции является ограниченной функцией от (свойство 2), то из соотношения (28) получаем для следующую оценку:

Из этой оценки следует: чем больше функция имеет абсолютно интегрируемых производных, тем быстрее её преобразование Фурье стремится к нулю при Замечание. Условие является достаточно естественным, поскольку обычная теория интегралов Фурье имеет дело с процессами, которые в том или ином смысле имеют начало и конец, но не продолжаются неограниченно с примерно одинаковой интенсивностью.

5 Связь между скоростью убывания функции при и гладкостью её преобразования Фурье.

Предположим, что не только , но и её произведение являются абсолютно интегрируемыми функциями на всей оси Ох. Тогда преобразование Фурье

функции будет дифференцируемой функцией. Действительно, формальное дифференцирование по параметру подынтегральной функции приводит к интегралу который является абсолютно и равномерно сходящимся относительно параметра . Следовательно, дифференци -рование возможно, и

Таким образом,

, т.е. операция умножения на аргумент переходит после преобразования Фурье в операцию .

Если вместе с функцией абсолютно интегрируемыми на всей числовой прямой Ох являются функции то процесс дифференцирования можно продолжить. Получим, что функция имеет производные до порядка включительно, причём Таким образом, чем быстрее функция убывает при , тем более гладкой получается функция

ТЕОРЕМА (о свёртке). Пусть функции и - преобразования Фурье функций соответственно. Тогда

Причём двойной интеграл в правой части сходится абсолютно.

В самом деле, положим , так что . Тогда будем иметь

или, меняя порядок интегрирования,

. Функция называется свёрткой функций и , и обозначается символом . Поэтому можем записать Поэтому видим, что преобразование Фурье свёртки функций и равно умноженному на произведению преобразований Фурье свёртываемых функций,

6. Приложения преобразований Фурье.

ПРИМЕР 1. Пусть - линейный дифферен- циальный оператор порядка с постоянными коэф- фициентами,

Используя формулу для преобразования Фурье функции

находим

Рассмотрим дифференциальное уравнение

(1) где - введённый выше дифференциальный оператор. Предположим, что искомое решение имеет преобразование Фурье Применяя преобразование Фурье к уравнению (1), получим вместо дифференциального алгебраическое уравнение на оси относительно , , откуда , так что формально где символ обозначает обратное преобразование Фурье.

ПРИМЕР 2 Найти решение уравнения (2) при начальных условиях

(3) Это - задача о свободных колебаниях бесконечной одно -родной струны, когда задано начальное отклонение точек струны, а начальные скорости отсутствуют.

Поскольку пространственная переменная изменяется в предедах от до , подвергнем уравнение и на- чальные условия преобразованию Фурье по переменной . Будем предполагать, что

1) функции и - достаточно гладкие и стремятся к нулю при настолько быстро, что существуют преобразования Фурье

(4) (5)

2) допустимы операции дифференцирования, так что

(6) (7) Умножая обе части (2) на и интегрируя по от до , получим:

(8) а из начальных условий (3) найдём

(9) Таким образом, применяя к задаче (2) – (3) преобразование Фурье, приходим к задаче Коши (8) – (9) для обыкновенного дифференциального уравнения, где - параметр. Решением уравнения (8) является функция

Из условий (9) находим, что , и

Применяя обратное преобразование Фурье, получим Это частный случай формулы Даламбера решения задачи.

ПРИМЕР 3. Преобразование Фурье может быть использовано при решении некоторых интегральных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестная функция входит под знак интеграла. Рассмотрим, например, уравнение

(10) где - искомая функция. Записав (10) в виде (11) замечаем, что левую часть (11) можно рассматривать как преобразование Фурье функции , так что (11) равносильно следующему равенству