Краткий анализ основ геометрий 23 страница
Делим десятое число на одиннадцатое и получаем:
123 : 199 = 0,61809045,
истинное значение – Ф = 0,61803399…
Делим одиннадцатое число на десятое:
199 : 123 = 1,617886179, истинное значение – Ф = 1,61803399…, то есть те же четыре знака точности. Делим двадцать первое число на двадцатое:
39601 : 24475 = 1,618018386.
Приближение к золотому числу чисел Люка происходит несколько медленнее, чем ряда Фибоначчи, но и этого для практических целей достаточно. Отметим, что приближение это начинается с двух величин, одна из которых больше Ф, а другая меньше ее, и идет с чередованием как со стороны, превышающей Ф так и от величин, меньших Ф. Отметим это очень важное обстоятельство для понимания рядов.
Теперь посмотрим, что происходит с любыми двумя случайными числами “построенными” в ряд, аналогичный ряду Фибоначчи, например, с числом 7 и большим по числовой значимости числом 16 (ряд 3).
Ряд 3.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | … |
| 7 | 16 | 23 | 39 | 62 | 101 | 163 | 264 | 427 | 691 | 1118 | … |
| … | 19 | 20 | 21 | 22 | |||||||
| … | 52523 | 84984 | 137507 | 222491 |
И проделаем те же расчеты, которые производились ранее. Делим десятое число на одиннадцатое, а потом одиннадцатое на десятое:
|
|
|
691 :1118 = 0,6180679,
1118 : 691 = 1,6179450,
и двадцать первое на двадцатое:
137507 : 84984 = 1,618033983,
получаем результаты аналогичные ранее проведенным расчетам и с примерно той же точностью.
Попробуем произвести еще один расчет. Сведем в один ряд маленькое дробное число и большое, например, 0,25 и 844,05 (ряд 4).
Ряд 4.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 0,25 | 844,05 | 844,3 | 1688,35 | 2532,65 | 4221 | 6753,65 | 10974,6 | 17728, | 28702,9 |
| 11 | … | 19 | 20 | 21 | 22 | … | |||
| 46431,2 | … | 2181424 | 3529619 | 5711043 | 9240662 | … |
И еще раз проделаем расчеты с числами из тех же столбцов:
28702,95 : 46431,25 = 0,61818172,
46431,25 : 28702,95 = 1,61747315,
и делением двадцать первого числа на двадцатое:
9240662 : 5711043 = 1,618034044.
Примерно те же точности, что и в предыдущих примерах, а это означает, что ряды типа Фибоначчи и Люка появляются не только при использовании первых трех чисел натурального ряда, но и при употреблении двух любых арифметических величин. И, похоже, во всех случаях на одиннадцатой операции сложения пропорция из двух соседних чисел будет обусловливать получение золотого числа с точностью до четвертого знака.
|
|
|
Продолжим рассмотрение ряда Фибоначчи, например, с восемнадцатого числа и попробуем понять, к чему стремятся получаемые члены ряда. Заполним ряд 5-й.
Ряд 5.
| 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
| 4181 | 6765 | 10946 | 17711 | 28657 | 46368 | 75025 | 121393 | 196418 | 317811 | 514429 |
Разделим все члены пятого ряда на какое-то число из них, например, на двадцать пятое и полученный результат запишем в шестой ряд.
Ряд 6.
| 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
| 0,034 | 0,0557 | 0,0902 | 0,146 | 0,236 | 0,382 | 0,61803 | 1,000 | 1,61803 | 2,6180 | 4,2360 |
Выясняется, что члены ряда Фибоначчи, начиная примерно с 12 слагаемого представляют собой геометрическую прогрессию, основанием которой является золотое число Ф, умноженное на некоторый коэффициент, которым может оказаться любое слагаемое ряда (например, двадцать первое 17711 или двадцать пятое 121393 в ряду 5 и т.д.). В результате деления членов ряда 5 на 121393 были найдены и занесены в 6 ряд золотые числа греческого ряда, которые получаются в настоящее время последовательным делением единицы на Ф (нисходящий ряд) и последовательным умножением единицы на Ф (восходящий ряд). Из ряда 6 следует, что все ряды геометрической прогрессии в неявной форме включают золотое число Ф, никогда не начинаются с некоторого числа и бесконечны как в сторону восхождения, так и в сторону нисхождения. Центром же их является базисная 1. Однако ряды типа Фибоначчи имеют началом “случайные” величины и только на одиннадцатой операции сложения начинают изменять свое первоначальное качество, переходя с ряда слагаемых в геометрическую прогрессию, создавая тем самым новое качество – геометрическую прогрессию.
|
|
|
И можно полагать, что физическая сущность рядов Фибоначчи заключается в некотором моменте различия между исходными величинами слагаемых, и это различие прослеживается на протяжении всего процесса суммирования в виде бесконечного стремления изначально суммируемых чисел к золотому числу Ф.
Однако вернемся к рядам. Несколько позже другой ученый, французский математик Б. Паскаль, изучая процесс деления клетки, обнаружил, что оно происходит путем раздвоения материнской клетки, а каждая последующая клетка тоже делится пополам, образуя геометрическую прогрессию. В симметричном же построении цифр столбцом друг под другом, проявляется что-то подобное треугольнику: 1; 2; 4; 8; 16; … и т.д. Процесс получения геометрической прогрессии с цифры два был назван “треугольником Паскаля”. Интересно и очень значительно то, что именно этим способом разделяются на меньшие отрезки древнерусские соизмерительные инструменты – сажени. (Сажень, полсажени, четверть сажени – локоть, одна восьмая – пядь, одна шестнадцатая – пясть и последний отрезок, одна тридцать вторая – вершок). Архитектор А. Пилецкий [25]использовал систему удвоения и раздвоения русских саженей для построения в единой системе чисел нескольких рядов Фибоначчи. Т.е. сдвоил ряд Фибоначчи, изменив его качество и получив уже не один ряд, а как минимум два взаимосвязанных ряда, числа, которых стали таблицей. Поэтому два и более ряда типа Фибоначчи можно назвать рядом Пилецкого. Построим таблицу 3 по его методу.
|
|
|
В этой таблице 3 третий снизу ряд чисел – Фибоначчи (отмечен полужирным шрифтом). Из него следует, что он начинается одной единицей, а не двумя, как сегодня принято. Все члены поля получаются по рядам последовательным сложением двух соседних чисел, т.е. методом Фибоначчи, а столбцы – удвоением каждого нижнего числа, т.е. методом Паскаля. В результате все числа таблицы
Таблица 3.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | … |
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
| 8 | 16 | 24 | 40 | 64 | 104 | 168 | 272 | 440 | 712 | … |
| 4 | 8 | 12 | 20 | 32 | 52 | 84 | 136 | 220 | 356 | … |
| 2 | 4 | 6 | 10 | 16 | 26 | 42 | 68 | 110 | 178 | … |
| 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | … |
| 0,5 | 1 | 1,5 | 2,5 | 4 | 6,5 | 10,5 | 17 | 27,5 | 22,5 | … |
| 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1,25 | 2 | 3,25 | 5,25 | 8,5 | 13,25 | 22,25 | … |
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
оказываются связанными между собой коэффициентами и по горизонтали (по строкам) и по вертикали (по столбцам), и по диагоналям. Эта связь, которая ощущается в начале таблицы достаточно зыбко, все “упрочняется” по мере возрастания чисел и, наконец, превращает таблицу в матрицу, бесконечную в трех направлениях, все члены которой связаны между собой и как бы постоянно “помнят” об этой связи, “помнят” о своей матрице. Этой “памятью” обладают все вещественные числа. И им более подходит наименование “софистические” или “мудреные” числа, название которое им было дано итальянским математиком Кардана. Неисчислимая бесконечность матрицы как бы отображает непрекращающийся процесс наращивания числового поля, обусловливая динамический характер золотым целым, дробным и иррациональным числам.
“Вырежем” часть поля таблицы 3, начиная, например с двадцать первого числа и рассмотрим, какими коэффициентами (числами золотых пропорций) связываются числа этого поля (таблица 4). Для чего разделим все члены числового поля таблицы 4 на число 46368 (в таблице 4 выделено полужирным шрифтом) и, заполним аналогичную таблице 4 сетку получившимися числами с точностью до пятого знака. Образовавшаяся таблица приобретает свойства золотой матрицы (матрица 1)
Таблица 4
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 70844 | 114628 | 185472 | 300100 | 485572 |
| 35422 | 57314 | 92736 | 150050 | 242786 |
| 17711 | 28657 | 46368 | 75025 | 121393 |
| 8855,5 | 14328,5 | 23184 | 37512,5 | 60696,5 |
| 4427,75 | 7164,25 | 11592 | 18756,25 | 30348,75 |
Матрица 1 есть фрагмент числового поля, относящегося к классу русских матриц, описанных в [26]. Это единственная бесконечная во всех направлениях золотая матрица, у которой члены среднего ряда повторяют греческий ряд золотых чисел, базисный столбец образуют целые четные числа Паскаля, а остальные числа поля пропорциональны золотому числу.
Матрица 1.
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 1,5279 | 2,4721 | 4 | 6,4721 | 10,472 |
| 0,76393 | 1,2361 | 2 | 3,2361 | 5,2361 |
| 0,38197 | 0,61803 | 1 | 1,61803 | 2,61803 |
| 0,19098 | 0,30902 | 0,5 | 0,80902 | 1,3090 |
| 0,09549 | 0,15451 | 0,25 | 0,40451 | 0,65451 |
Класс русских матриц единственный из числа матриц, в котором два любых числа по горизонтали при последовательном сложении образуют третье. Он – объемен и обладает множеством особенностей, отсутствующих у других матриц, но главное – он базируется на золотых пропорциях (о классе русских матриц далее). Матрица же 1 имеет следующие золотые коэффициенты взаимосвязи:
По столбцам – 2,
По строкам Ф = 1,618,
По диагонали слева направо снизу вверх 2Ф = 1,618× 2 = 3,236,
По диагонали слева направо сверху вниз 2/Ф = 2/1,618 = 1,236.
Существует еще несколько способов нахождения золотого числа Ф. К ним относятся деление отрезка в крайнем и среднем отношении (далее рассматривается подробнее), представление Ф в виде цепной дроби, и представление его в радикалах. Рассмотрим вкратце эти методы. Начнем с цепной дроби. Ее запись:
Если ограничить “спускающийся” ряд знаменателя двенадцатью членами и, приняв за последнее число 1, решить эту дробь, то решение начнется с числа 2 и приближение к Ф будет происходить чередуясь как “спуск” с величины большей золотого числа с 2, так и “подъем” с меньшей – 0,5, т.е. имеет осциллирующий характер. В результате на той же одиннадцатой операции будет получено число Ф с точностью до четвертого знака. То есть цепная последовательность приближения суммируемых единиц знаменателя к золотому числу повторяет суммирование чисел рядов Фибоначчи – Люка. Если же за последнее число знаменателя примем не 1, а, допустим, 16 или любое другое число, то расчеты показывают, что приближение идет с осциллирующим чередованием и то же количество операций. Таким образом процедура получения Ф по цепной дроби практически повторяет результаты решения по рядам Фибоначчи, только слагаемые числа находятся в знаменателе и не зависит от того, какое число заключает “цепной” знаменатель.
Коротко ознакомимся с нахождением числа Ф методом “радикалов”.
Понятно, что начальным в процедуре расчета или конечным в ряду радикалов является число 2. Подставляем его в радикал и проведя расчеты убеждаемся, что число Ф с точностью до четырех знаков получается на той же одиннадцатой операции, но приближение к нему идет только сверху. Проведем расчеты, поставив последним в ряду радикалов число 16. Результат полностью аналогичен предыдущему. Число Ф получается на одиннадцатой операции, приближение идет сверху. Таким образом все четыре способа нахождения числа Ф являются в какой-то мере аналогами. Отличие только в том, что метод сложения любых вещественных чисел обусловливает быстрое получение основного варианта золотой русской матрицы.
Здесь же отметим основные моменты свойств рядов Фибоначчи:
- Получение золотого числа Ф методом Фибоначчи – Люка не ограничивается сложением двух минимальных чисел 1 и 3, а распространяется на любую пару вещественных чисел.
- Золотое число Ф с точностью до четвертого знака включительно во всех случаях получается из соотношения двух соседних чисел ряда уже на одиннадцатой операции сложения. Количество операций сложения, необходимых для приближения к золотому числу, не определяется величиной слагаемых чисел.
- Последовательность приближения к Ф идет как сверху вниз (результат первого деления превышает Ф), так и снизу (результат первого деления меньше Ф), но, никогда не становится равным Ф, приближаясь к нему на бесконечно малую величину.
- Если известно одно число класса Фибоначчи, то имеется возможность получения всего потребного для операций ряда и тем точнее, чем далее оно находится от начала ряда. Числа “помнят” о своем месте в ряду.
- Важнейшим обстоятельством для понимания физического смысла золотой пропорции становится наличие только двух чисел, участвующих в построении ряда. Можно полагать, что эти числа математически отображают взаимосвязи реальных тел природы.
- Каждый ряд Фибоначчи, последовательно возрастая, «вырождается» в геометрическую прогрессию.
- Все ряды геометрической прогрессии в неявной форме включают золотое число Ф и бесконечны как в сторону восхождения, так и в сторону нисхождения.
- Применение геометрической прогрессии Паскаля к рядам Фибоначчи обусловливает появление таблиц с взаимосвязанными по всему полю числами.
- Геометрические прогрессии рядов Фибоначчи при делении всех чисел поля на одно из них образуют золотые объемные матрицы.
- Числовое поле русских матриц отображает высшую арифметическую и степенную комбинаторику как гармонию природных процессов, выраженную в математической форме.
Наличие формальных и природных свойств у чисел и алгебраических символов обусловливает возможность представления одних и тех же уравнений как в алгебраической, так и в геометрической форме. Именно этим методом решается задача деления отрезка в крайнем и среднем отношении.
3.2. Библейская геометрия
Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 59; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!