Краткий анализ основ геометрий 19 страница
Динамическая геометрия описывает реальные физические процессы и следует предполагать, что явление силовой «гомотетии» может наблюдаться, например, и в деформации планет Солнечной системе. Поскольку планеты движутся не строго по круговым траекториям, а по эллиптическим орбитам, то в афелии и перигелии этих орбит планеты должны иметь различную величину своего радиуса. Так расчетный радиус Земли в афелии должен превышать радиус в перигелии более чем на 200 км. Однако ни люди не ощущают, ни приборы не фиксируют столь значительные колебания размеров земного шара потому, что происходит тождественное сжатие или расширение всех молекул и атомов, образующих планету Земля. И эта тождественная деформация молекул изменяет показания всех приборов пропорционально общей деформации, нейтрализуя возможность их различения (именно так, как это происходит у Пуанкаре при описании температурных изменений). А еще потому, что современные ученые даже не предполагают и потому не верят в возможность столь значительной деформации планет. А раз не предполагают, то и не наблюдают, более того, когда наблюдают, не верят глазам своим, игнорируя даже результаты астрономических наблюдений. Похоже, что именно это обстоятельство отражено в последовательном определении размеров планеты Меркурий.
Меркурий наиболее близкая к Солнцу планета Солнечной системы имеет очень большой эксцентриситет своей орбиты. Поэтому разница в размерах планеты, находящейся в афелии и в перигелии, будет превышать тысячу км, около четверти диаметра. Естественно, что не засечь такую разницу ну просто невозможно, разве что если уж очень постараться. И тут на «помощь» астрономам приходит природа. Расположение Меркурия вблизи Солнца очень неудобно для наблюдения, да и максимальное время наблюдения составляет менее двух часов. К тому же в лучах либо восходящего, либо заходящего Солнца. Немало и других неблагоприятных факторов. Вот и получается, что лучше всего наблюдать планету в период ее нахождения в афелии, то есть в наибольшем удалении от Солнца, тогда, когда она имеет «неизменный» размер. И, похоже, астрономы только там ее и наблюдают. И все же эти наблюдения дают существенный разброс размеров радиуса планеты. Вот как это отображено в астрономическом ежегоднике:
|
|
|
1960 г. 2570 км,
1962 г. 2385 км,
1973 г. 2439 км,
1976 г. 2420 км,
2001 г. 2439 км.
Конечно разброс не очень значительный (все же постоянная точка наблюдения - афелий) но достаточный, чтобы задуматься, почему же это происходит, тем более, что в справочниках точность наблюдения дается ± 5 км, но не ± 50 же км. И хотя бы один раз попробовать определить, для уточнения, радиус Меркурия в перигелии. И прежде чем вернуться к геометрии, добавим, что в квантовой механике именно процесс гомотетии, сопровождающийся возрастанием энергии деформируемой элементарной частицы, обусловливает ее прохождение через потенциальный барьер.
|
|
|
Отметим, что для динамической геометрии, похоже, становится неприменимым евклидово понятие "прямая линия", поскольку последняя может не проходить через две существующие точки. Вероятно, более подходит следующее определение прямой: Прямая линия - след точки движущейся к другой точке по кратчайшему пути или перпендикулярно эквипотенциальной поверхности напряженности. Евклидово определение понятия "точка" можно временно сохранить.
Рассмотрим, к каким последствиям приводит аксиома о параллельных в динамической постановке (рис. 31). Предположим, что из точки А к точке О движется с отрицательным ускорением тело-точка и за прошедшее неопределенное время она прошла расстояние АА, след-траектория которого есть прямая линия. Будем называть ее прямой. Одновременно из точки А ¢ к тому же центру О и по тому же закону движется другое тело-точка. И эта точка прошла расстояние А ¢ А ¢ . Ее след-траектория тоже прямая линия или просто - прямая, как и след всех последующих точек. Прямые АА и А ¢ А ¢ , оставленные движущимися точками, по геометрии Евклида не являются параллельными. Но в динамической геометрии они параллельны, поскольку никогда не в состоянии достичь центра О и, следовательно, пересечься в одной точке. К тому же, в отличие от «прямых» Лобачевского и Римана, они действительно прямые.
|
|
|
Определим, какие зависимости возникают между движением этих прямых и элементами фигур, образуемых ими. Продолжим построение (рис. 33). Проведем дополнительные прямые А'А', А"А" , ... АnАn так, чтобы по длине они оставались равными между собой, а расстояние между ними определялось отрезком, выходящим из некоторой точки к прямой АА до точки k¢, лежащей на прямой А'А' под углом Akk' к прямой А'А' и равным ему углом A' kk¢ прямой АА.
Следующую прямую проводим по тем же правилам из точки k¢ прямой А'А' к точке k" прямой А"А". И так до тех пор, пока отрезок, выходящий из точки kn прямой АnАn, не замкнет построение ломаной линии прямой АА. Поскольку расстояние между прямыми одинаково, а углы в пересечении каждого отрезка с прямой равны, то замыкающий отрезок попадает в ту же точку k прямой АА, из которой вышел отрезок kkn. Замкнутая ломаная kk'k" ... kn образует равносторонний многоугольник.
|
|
|
В результате получаем на плоскости «частокол» прямых, имеющих своим стремлением недостижимый в бесконечности, а потому фиктивный, центр О. Все прямые в своем движении к недостижимому центру параллельны и по определению, и по структуре напряженности на поверхности плоскости. А основная особенность образовавшегося правильного многоугольника - дихотомия конечного и бесконечного в том, что конечный периметр замыкает в себя площадь бесконечной величины. Если теперь через центры отрезков, образующих стороны многоугольника kk', k'k", k"k"', ..., knk, провести новые прямые и соединить их отрезками по правилам, изложенным выше, то получим многоугольник с количеством сторон, превышающем количество первого в два раза. При продолжении этой операции бесчисленное число раз длина отрезков kk ¢ , k'k",..., knk будет стремиться к минимуму, а углы Аkk¢, A'k¢k, A'k¢k¢¢,... устремятся к p /2, и в пределе многоугольник kk¢k¢¢ ... kn превратится в окружность на плоскости. Плоскость окружности одновременно будет обладать свойствами евклидовой статической геометрии и содержать в своих границах площадь конечной величины, и свойствами неевклидовой геометрии и содержать в тех же границах площадь величины бесконечной. Две несовместимые бытийно площади как бы налагаются друг на друга. (И здесь дихотомия конечного и бесконечного.)
| |
Получается, что одни и те же геометрические элементы можно одновременно мерить и жесткими стержнями (геометрия Евклида) и динамическими изменяемыми эталонами. А это означает, что между геометрией статической и динамической имеется определенная взаимосвязь. Попробуем ее отыскать.
Отложим от точки k вправо и влево (см. рис. 33) по отрезку kk1и kk2 одинаковой длины в евклидовой мерности и, используя предыдущее правило построения, проведем через них еще две окружности k1¢k1¢¢k1¢¢¢... k1n и k2k2¢k2¢¢...k2n. Естественно, что окружности k1 и k2по отношению к окружности k будут описанной и вписанной. И это единственное, что общее в структуре, как для евклидовой, так и для неевклидовой геометрии.
Отличие начинается с того, что наружу от окружности k обе геометрии допускают проведение бессчетного числа окружностей на одинаковом расстоянии друг от друга. А внутри окружности k по геометрии Евклида, число таких окружностей ограничено, по динамической же геометрии - количество их неограниченно. Каждая окружность динамической геометрии - эквипотенциальная линия напряженности относительно точки О. И длина ее (или площадь) равна бесконечности одного ранга, т.е.они равны между собой. Это есть следствие гомотетии и аксиомы о динамических параллельных. Она может быть сформулировано следующим образом:
Дуги-хорды kk¢ , k1k1¢, пересекающие прямые АА и А ¢ А ¢ под одним углом и на некотором расстоянии друг от друга, имеют одинаковую длину.
Это следствие - теорема требующая доказательства. В настоящей работе оно предлагается как аксиома. И на ее основе получается, что:
- В геометрии Евклида длина всех окружностей различна, в неевклидовой же одинакова. Линия окружности является прямой.
- В геометрии Евклида длина окружности непрерывна, а в неевклидовой - дискретна. Она состоит из бесчисленного множества одинаковых отрезков бесконечной длины.
- В статической геометрии радиус окружности – конечен. В динамической бесконечен.
- В статической геометрии взаимодействие между радиусом и окружностью отсутствует, в динамической наличествует.
- В статической геометрии радиусы и окружности не связаны со временем, в динамической такая связь имеется и т.д.
Таким образом, отсутствие одинаковых качеств у окружностей двух геометрий лишает нас возможности определения взаимосвязи между ними по качественным признакам и вынуждает использовать свойства несоизмеримых чисел (что вполне понятно, поскольку конечное и бесконечное несоизмеримы по определению). Возьмем, например, два евклидовых круга одинакового радиуса r и площадью S. Сложим площади вместе так, чтобы образовался новый круг в два раза большей площадью S ¢ и определим, насколько радиус R нового круга больше радиуса r маленького круга. Площадь большого круга S¢= p R2 , малого S = p r2:
p R2 = 2r2p R = rÖ2 = 1,41421... r .
Число Ö2, по Дедекинду - несоизмеримое иррациональное число. Символ особого способа распределения соизмеримых чисел. Однако, в динамической геометрии это символ связности, соизмеримости, а в данном случае - качественный коэффициент, обусловливающий изменение качества пространства при движении в нем двух линий к отдаленному центру. При коэффициенте связности, равном Ö2, две линии, движущиеся на плоскости к одному центру, всегда параллельны, или, что то же самое, никогда не пересекаются на бесконечности. При устремлении Ö2 ® 1 соизмеримость бесконечности меняется, и при достижении 1 динамическая геометрия переходит в статическую геометрию Евклида на плоскости.
Определим, чему равно несоизмеримое число, описывающее пространство. Используем вышеприведенный метод построения окружности и при образовании сферы. Для этого проведем множество прямых А, параллельных АА не в плоскости, а в объеме, и получим «ежик» прямых, образующих объем и устремленных в одну точку на бесконечности. Пересечем их прямыми, исходящими из точки k1, по ранее описанному методу. В результате построения получаем сферический многогранник, сходящийся при бесчисленном увеличении граней в правильную сферу, имеющую конечную площадь поверхности, но бесконечную длину радиуса.
Имеется и более простой способ построения сферы путем вращения образовавшегося круга вокруг прямой, например, АА которая поэтому как бы становится осью вращения, а при повороте на минимальные градусы в образовавшиеся элементы сферы «втыкаются» прямые, направленные к центру. Но при этом создается иллюзия, что образовавшаяся сфера имеет выделенную ось вращения, и ось эта - прямая АА, «проходящая» через центр сферы. В данной же сфере ни одна прямая, входящая в сферу и идущая к центру, до него не доходит и тем более его не проходит, а потому не может быть признана осью.
Любым из этих способов можно построить бесчисленное количество сфер как внутренних, так и внешних по отношению к базисной сфере k, объем каждой, из которых будет конечен по евклидовой геометрии и бесконечен по динамической. И если объем всех евклидовых сфер геометрически различен, то объем неевклидовых сфер физически равен друг другу, т.е. обладает тем же соотношением качеств, что и окружности.
Теперь, исходя из метричности евклидовых объемов сфер, определим величину коэффициента объемной связности (объемное число Дедекинда). Мысленно вычленим внутри одной сферы другую таким образом, чтобы объем вычлененной сферы V и объем сферы V1 между поверхностями двух сфер были равны: V = V1, тогда суммарный объем V2 равен:
V2 = 4/3p R3 = V1 + V = 2V = 8/3p r3 .
Определим, насколько радиус внешней сферы R превышает радиус внутренней r, R3 = 2r3.
Отсюда: R = 3Ö2 r = 1,259921 ... r. k = 1,259921… .
Таким образом, коэффициент связности объема k (несоизмеримое число Дедекинда) равно: k = 3Ö2 = 1,259921... . Это число,как и коэффициент связности окружности, является иррациональным и обусловливает бесконечное движение динамических параллельных к центру сферы.
Хотя коэффициент связности и является безразмерностной величиной, он качественно индивидуален для каждого свойства. Говоря словами Дедекинда, каждый коэффициент принадлежит своему и только своему рангу параметров, а потому для каждого из них необходима собственная числовая индексация.
Выводы:
Методы математического преобразования не применимы для описания движения геометрических фигур на бесконечность.
Аксиомы о параллельных неевклидовых геометрий, включающие возможность бесконечного движения прямых через точки, отображают не математическое преобразование, а механическое движение фигур.
Траектории-следы точек, движущихся с минусовым ускорением к единому центру и не достигающие его за бесконечный промежуток времени, не пересекаются и, следовательно, параллельны.
Наличие движущихся в бесконечность и неподвижных фигур в неевклидовых геометриях свидетельствует о том, что они описывают механическое движение и потому являются полудинамическими геометриями. В динамической геометрии все фигуры подвижны.
Статические и полудинамические геометрии являются производными элементами динамической геометрии.
Но математическому описанию движения всегда предшествует понимание процесса взаимодействия природных тел. Попробуем рассмотреть особенности тех движений, которые проявляются в неевклидовых геометриях при отображениях реальных природных движений.
2.8. Падение тел в
плотностном пространстве
В настоящем разделе речь пойдет только об одной форме движения тел - их «свободном» падении в гравитационном пространстве и времени Солнечной системы, поскольку именно аналогичное падение напоминает след-траектория, оставляемая свободно движущейся точкой относительно другой в полудинамической геометрии. Поскольку всякое движение, по нашему представлению, возможно только в пространстве и во времени, а перемещение точки в геометрическом (реальном?) пространстве не сопровождается явным проявлением времени и, следовательно, не может считаться отображением движения, надо выяснить: Описывает ли траектория движения точки в динамической геометрии реальное движение тел? Проявляет ли себя время в динамической геометрии? И в какой форме? Изменяется ли скорость течения времени в пространстве или остается абсолютной, как это постулируется в классической механике?
Теперь, имея определение основной аксиомы динамической геометрии, рассмотрим, о чем свидетельствует невозможность как статической формулировки аксиомы о параллельных в геометриях Лобачевского и Римана, так и искривление «прямых», проходящих через точку. Проанализируем качественно, на примере (рис. 34), те факторы, которые обусловливают появление «прямых» - элементов геометрий Евклида, Лобачевского, Римана при движении двух тел к общему плотностному центру О.
Предположим, что плотностной центр О является телом (например, Солнцем), на которое под воздействием притяжения, падают в динамической параллельности своих траекторий два тела-точки А и В оставляя прямолинейные следы-линии. В своем движении к центру они перпендикулярны плотностным эквипотенциальным поверхностям напряженности гравитационного поля. В некоторой точке А движение тела А искусственным образом изменяют так, чтобы на участке АД оно двигалось в статической параллельности траектории движения тела В. Естественно, что на участке АД это тело движется под углом к плотностным эквипотенциальным поверхностям и для такого движения должно получать дополнительную энергию и потому двигаться с большим ускорением чем при свободном падении. В точке Д энергия, вызывающая ускоренное движение тела А статически параллельно телу В, прекратила свое воздействие и тело А, представленное самому себе, продолжило падение на центр О. Имея большую энергию движения тело А продолжает падение по одной из трех возможных траекторий (рис. 34):
по траектории а - по параболе, приближаясь к новой форме динамической параллельности с траекторией тела В, с возможным бесконечным падением на центр О;
по траектории b - по эллипсу, огибая плотностной центр О и превращаясь в его спутник;
по траектории с - по гиперболе, «оттолкнувшись» от центра О и удаляясь от него на бесконечное расстояние.
Ориентируясь нарис. 34, можно полагать, что геометрия Лобачевского основывается на разработке элементов траектории с, а геометрия Римана на базе траекторий а и b. Все три фигуры хорошо изучены в статической геометрии. К тому же поэллиптической траектории движутся многие небесные тела и в частности - планеты.
Рис. 34.
с
Д  
А
а в
О
В
  
|
Появление эллиптической траектории движения точки-тела с одной стороны свидетельствует о том, что статические геометрические фигуры есть остановленные в движении очертания фигур-траекторий динамической геометрии, а с другой вызывает вопрос: А не является ли траектория планет следствием движения небесных тел по законам динамической геометрии? Не является ли динамическая геометрия аналогом физической геометрии?
Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 59; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!