Четырехугольники 8 кл

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Теорема: Сумма углов выпуклого п-угольника равна (п – 2) ⋅ 180°.

Например: Сумма углов выпуклого 5-угольника равна (5 – 2) ⋅ 180° = 3 ⋅ 180° = 540°.

А В

Определение: параллелограммом называется четырехугольник,

у которого противолежащие стороны параллельны.

C D Свойства:

А В 1). Противолежащие стороны равны ( АС = В D , С D = АВ).

О 2). Противолежащие углы равны ( ∠ А = ∠ D , ∠ С = ∠ В).

3). Сумма соседних углов равна 180° ( ∠ А + ∠ С = 180°; ∠ D + ∠ С = 180°)

С D 4). Диагонали пересекаются в одной точке и точкой пересечения

делятся пополам ( АО = О D; СО = ОВ).

Признаки параллелограмма

Если в четырехугольнике стороны попарно равны, то этот четырехугольник – парал-м.
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом
Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

В С Определение: Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства:

О 1).Диагонали ромбапересекаются под прямым углом.

2). Диагонали ромба делят углы пополам.

А D Признак ромба – если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны и

точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – ромб.

В b С

Определение:

а P = ( a + b ) ⋅ 2 Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

S = ab Свойства: диагонали прямоугольника равны

А D

Р = 4а Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны, или

а S =а Квадрат - это ромб, у которого все углы прямые.

Поэтому он обладает и свойствами параллелограмма, и свойствами прямоугольника, и свойствами ромба.

В С

Трапеция - это четырехугольник, у которого

N M две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Свойства: 1) сумма углов при боковой стороне равна 180°

( ∠ А + ∠ В= 180°; ∠ D + ∠ С = 180°)

А D 2).Если трапеция равнобедренная, то углы при основании равны,

( ∠ А = ∠ D , ∠ С = ∠ В) , диагонали равны ( АС = В D ).

3) Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Свойство: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

NM - средняя линия трапеции; NM = .

Площади

Формула Герона

A a b

А b c

S = S = S = ,

гдеp =

A c

прямоугольный O R a b

равносторонний

A b r

S = ; S = ; S = ; S = pr, где p = .

1) S = ab sin ; 2) S = .

b h 2) S = . - Площадь параллелограмма равна стороне,

умноженной на высоту, проведенную к этой стороне

B C

1) S = ah - Площадь ромба равна произведению стороны на высоту. а h 2) S = a а sin = а² sin ;

A а D 3) S = = - Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

h S = - Площадь трапеции равна полусумме оснований,

умноженной на высоту.

S кв. =а S прямоуг. = ab S круга =π

Квадратные уравнения

ü ах + bx + с = 0; х = - ( I )

Например: 5х + 10 x - 40 = 0, a = 5, b = 10, c = -40.

х = ; х ₁ = х ₂ =

ü D = b - 4 ac – дискриминант, от которого зависит количество корней уравнения. Если D = b - 4 ac >0, то уравнение имеет два корня,

D = b - 4 ac = 0, то уравнение имеет один корень,

D = b - 4 ac <0, то уравнение не имеет корней.

ü Теорема Виета

Если х и x - корни квадратного уравнения ах + bx + с = 0, то х + x = , х x = .

Например: в уравнении 5х + 10 x - 40 = 0 х = 4; x = -2.

х + x = 4 - 2 = 2= = , х x = 4 (-2) = - 8 = - = .

Если а =1, тогда х + bx + с = 0 называется приведенным кв. ур-ниеми х + x = - b; х x = c.

Например : х - 4х -5= 0; х + x = 4, х x = - 5, х = 5; x = -1.

ü Решение неполных квадратных уравнений.

1) х = 16, 2) 5 х - 45 = 0, 3) 5 х - 45х = 0, 4) 5 х =0,

Ответ: х = 4 Перенесем свободное Вынесем общий х =0,

слагаемое в правую множитель за скобки Ответ: х = 0.

часть уравнения. 5х(х – 9) =0.

5) х = - 16, 5 х = 45 / : 5 Произведение нескольких 6) х = 24, т. к. квадрат х = 9; множителей равно нулю, если х = = ±

любого числа – Ответ: х = 3; х = - 3. хотя бы один из них равен нулю. Ответ: х =

не отрицателен, т. к.5 0, то х = 0 или х – 9 = 0.

то Ответ: нет Ответ: х = 0; х = 9.

Корней.

ü Квадратичная функция: у = ах²+ bx + c

у=х²+3,5

График функции у=х²+3,5 получен при перенесении графика у=х²вдоль оси у на 3,5 единицы вверх,

а у=х²-3 –на 3 единицы вниз.

у=(х+4)²+2

График функции у=( х - 3)² получен при

у = х² у=(х-3)² перенесении графика у = х² на 3 единицы

(-4; 2) 2 вдоль оси х вправо, у= - (х+4)² - влево на 4 единицы,

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 х ветви графика направлены вниз, т. к.

перед функцией стоит знак минус.

у=х²-3

График у =( х + 4)² + 2 получен при переносе

3 графика у = х² на 4 единицы влево и на 2 ед. вверх.

у= - (х+4)²

ü Построение графика квадратичной функции: у = х²- 2х -3

у 1) Найдем вершину параболы: а = 1, b = - 2,

5 х_в= - = - =1; у_в =1² -2∙1 -3 = -4. А_в (1 ;- 4).

2) Проведем ось симметрии.

3) Решив уравнение х²- 2х -3=0, найдем точки пересечения параболы с осью х (нули функции): х = -1; х = 3.

х 4) Найдем точки пересечения параболы с осью у.

- 2 - 1 0 1 2 3 4 При этом х = 0: у = 0² – 2 ∙ 0 – 3 = - 3.

5) При х = 4, у = 4² – 2 ∙ 4 – 3=5. (4; 5) - точка параболы.

6) Отобразим симметрично относительно оси параболы точки(0; -3) и (4; 5). – 3 Соединим все полученные точки.

А(1; - 4)

ü Свойства квадратичной функции: у = х²- 2х -3

· Область определения: х (- ∞; + ), т. е. х – любое число.

· Множество значений: у - 4; ), т. е. у - 4.

· Нули функции: х = - 1 и х = 3.

· у 0 при х (- ; - 1) (3; + ). у 0при х (-1; 3).

· Функция возрастает при х (1; ), функция убывает при х (- ∞; 1)

· Наименьшее значение функции: у = - 4 при х = 1.

ü Решение квадратных неравенств

1). Найти точки пересечения параболы с ось х, решив соответствующее квадратное уравнение.

2). Определить направление ветвей параболы: если а > 0, то ветви направлены вверх,

если а < 0, то – вниз.

3). Схематически изобразить параболу. 4). По знаку неравенства записать ответ.

Подобие треугольников.

В В Определение: ∆ АВС подобен ∆ А В С , если их

соответственные углы равны, а стороны пропорциональны.

А С А С А= А , В= В , С= С и

Признаки подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (по двум углам).

Т. е. если А= А , В= В , то треугольники подобны (по двум углам).

2. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а стороны образующие эти углы пропорциональны, то эти треугольники подобны (по двум сторонам и углу между ними). Т. е. если А= А и , то треугольники подобны (по II призн. подобия треуг.)

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны (по трем сторонам).

Т. е. если = , то треугольники подобны (по трем сторонам).

Где – коэффициент подобия.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

a h b ; ; .

ü Если треугольники подобны, то

1) отношение их периметров равно коэффициенту подобия:

2) отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

ü Свойство биссектрисы угла треугольника. Биссектриса угла треугольника делит

В противоположную сторону на отрезки, пропорциональные

6 18 прилежащим сторонам: Например: ; х =

А х D 15 C

ü Свойство медиан треугольника.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

ü Средняя линия треугольника. В

Определение: Средняй линией треугольника называется отрезок, М Р

соединяющий середины двух его сторон.

Свойства: Средняя линия треугольника параллельна А С

одной из его сторон и равна ее половине. МР | | АС, МР =

дуга М

Окружность

А хорда В Окружность – это геометрическая фигура,состоящая из точек,

С расположенных наодинаковом расстоянии от данной точки.

Диаметр Эта точка О называется центром окружности.

О радиус К Отрезок, соединяющий центр окружностислюбой ее точкой,

называется радиусом. (ОК – радиус - R ). D = 2 R

Е Все радиусы одной окружности равны.

Отрезок, соединяющий две точки окружности,называется хордой.

Н Диаметр – это хорда, проходящая черезцентр(C Е – диаметр - D).

Дуга – это часть окружности.

Касательная – это прямая, имеющая с окружностью одну общую точку - МН.

Свойство касательной – касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (МН ОК).

Треугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются окружности (по свойству касательной – радиусы этой окружности, проведенные в точки касания, будут перпендикулярны сторонам данного треугольника).

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника.

Треугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности .

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам данного треугольника.

Ценрт окружности, описанной около прямоугольного треугольника, А В лежит на середине диаметра (по свойству вписанных углов).

АВ – диаметр, С= 90º.

М Центральный угол - это угол с вершиной в центреокружности.

Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. А СО D - центральный. СОD = CD .

О D

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность. АМВ =

Вписанный угол (АМВ) равен половине дуги, на которую он опирается.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

В D ∠ А + ∠ С = ∠ В + ∠ D .

А В любом описанномчетырехугольнике М К

суммы противоположных сторон равны. М К + ОР = МО + КР.

О Р

А С

Отрезки касательных окружности, проведенных из одной точки, равны.⋅

В АВ = АС

Луч АО является биссектрисой ∠ ВАС , где О центр окружности.

Синус, косинус, тангенс.

a и b – катеты, с - гипотенуза

b c sin α + cos α = 1 tq α = ; ctq α =

C a B

Синусом острогоугла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. sin α = ; sin β = .

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. cos α = ; cos β = .

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. tq α = ; tq β = .

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему. ctq α = ; ctq β = .

Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 54; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!