Признаки равенства треугольников

Проценты

1% = = 0, 01 Процент – это сотая часть числа.

Например: 1) 1% = 0,01, 7% = 0,07; 179=1,79

2) 0,16 = 16%; 0,04 = 4%; 3,25 = 325%;

3) Найти 15% от 200. Решение : 1 способ: 200 : 100 15 = 30

2 способ: т. к. 15% = 0,15, то 200 0,15 = 30.

Задача 1. Продано за два дня 200 кг картофеля. В первый день продано 15% всего картофеля. Сколько продано в первый день?

. Решение : 1 способ: Т. к. весь картофель – 100%, то 200 : 100 15 = 30(кг)

2 способ: т. к. 15% = 0,15, то 200 0,15 = 30(кг).

Ответ: в первый день продано 30 кг картофеля.

Задача 2. В первый день продано 30 кг картофеля, что составляет 15% всего количества. Сколько было картофеля всего?

Решение: Т. к. весь картофель – это 100%, а 30кг – это 15%, то 30 : 15 100 = 200(кг).

Ответ: всего было 200кг картофеля.

Действия с рациональными числами 6 кл

Чтобы сложить числа с разными знаками, надо из большего модуля вычесть меньший и в результате поставить знак числа, имеющий больший модуль.

Например : - 6 + 4 = - 2; 12 – 20 = - 8; - 30 + 15 = - 15.

2. Чтобы сложить отрицательные числа, надо сложить их модули и перед полученным числом поставить минус.

Например: - 33 – 24 = - 57; - 2,3 – 7 = - 9,3.

3. Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить их модули перед результатом поставить минус.

Например: - 5 ·0,4 = - 2; 1,2 · (- 0,03) = - 0,036.

4. Чтобы умножить два отрицательных числа, надо умножить их модули.

Например: - 6 · ( -3) = - 18; ( - 0,5) ·( - 1,2) = 0,6.

5. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, надо опустить скобки и этот знак минус и изменить знаки слагаемых, стоящие в скобках, на противоположные.

Например: 6 – ( 3а – 2с + в) = 6 – 3а +2с – в.

6. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, надо опустить скобки и записать слагаемые, стоящие в скобках со своими знаками.

Например: 5 + ( 3а – 2с + в ) = 5 + 3а - 2с + в.

7. Слагаемые, имеющие общую буквенную часть, называются подобными.

Например:: 1) - 3ав, ав, 1,2ав; 2) 6с, -5,9с, -с.

8. Чтобы привести (сложить подобные слагаемые), надо сложить их коэффициенты и умножить на общую буквенную часть.

Например: - 3ав + ав - 1,2ав = (- 3 + 1 – 1,2)ав = - 3,2ав;

- 5ав+ 0,2с – 7 – с – 3ав = - 8ав - 0,8с -7.

Решение уравнений

Уравнение– это равенство, содержащее неизвестное.

Корнем уравнения (или решением) называется то значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное равенство.

Например: х = 5 является корнем уравнения 2х – 3 = 7, т. к. 2 · 5 – 3 = 7.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Основные свойства уравнений

1. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

Например: 3х – 8 – 4х + 10 = 12х + 3 – 5х – 9;

3х – 4х – 12х + 5х = 8 – 10 + 3 – 9.

2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и тоже число, отличное от нуля. Например: а) 12х = 24 : 12 б) 0,5 у = 7 · 2 в) - х = 6 ·( - 3)

х = 2 у = 14 х = - 18

Обыкновенные дроби 5 кл

Основное свойство дроби.

1. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.

Например: ;

2. Сокращением дробей называется деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель.

Например: . Дробь сократили на 2 (разделили числитель и знаменатель на 2).

3. Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, надо числитель дроби разделить на знаменатель. Неполное частное – это целая часть, остаток – числитель, а знаменатель оставить без изменения.

Например: , т. к. 23 : 5 = 4 (ост. 3).

4. Чтобы смешанное число записать в виде неправильной дроби, надо знаменатель умножить на целую часть и прибавить числитель. Результат записать в числитель, а знаменатель оставить без изменения.

Например: .

Сложение дробей

5. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

6. Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, надо найти:

1) наименьший общий знаменатель,

2) дополнительные множители,

3) умножить числители на дополнительные множители,

4) вычислить числитель,

5) если можно, сократить и выделить целую часть.

Например: .

Умножение дробей

7. Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений. 2

Например: .

8. Чтобы умножить дробь на дробь, надо произведение числителей записать в числитель, произведение знаменателей записать в знаменатель, если можно, сократить и выделить целую часть.

9. Чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а потом применить правило умножения дробей.

10. Дробь от числа находится умножением. 10

Например: Найти от 30. Решение: .

Деление дробей

11. Чтобы разделить дробь на дробь, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Например:1) ; 2) .

12. Чтобы разделить дробь на число, надо ее знаменатель умножить на это число.

Например: ;

Признаки делимости.

ü Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.

Например: 10, 30, 200, 1520.

ü Если число оканчивается цифрами 0 или 5, то оно делится на 5.

Например: 10, 25, 30, 175, 200, 1520.

ü Если число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.

Например: 10, 32, 216, 158, 1254.

ü Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.

Например: у числа 3591 сумма цифр 3+5+9+1=18 делится на 3,

поэтому и само число 3591 делится на 3.

ü Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

Например: у числа 3591 сумма цифр 3+5+9+1=18 делится на 9,

поэтому и само число 3591 делится на 9.

ü Если число оканчивается числом, которое делится на 4, то оно делится на 4.

Например: 2304, 3616, 68180.

ü Если число оканчивается числами 00, 25, 50, 75, то оно делится на 25.

Например: 2300, 3625, 68150, 12575.

Углы 7 кл

Определение: Два угла, у которых одна сторона общая,

а две другие образуют прямую, наз. смежными.

1 2 Свойство: Сумма смежных углов равна 180°.

1 + 2 = 180° .

Определение: Два угла, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого угла, наз. вертикальными.

1 2 Свойство: Вертикальные углы равны.

1 = 2

1 2 а Параллельные прямые (определение: на плоскости не пересекаются)

3 4 Признаки: а // b, если

Накрест лежащие углы равны: 3 = 6; 5 = 4, или

5 6 Сумма внутренних односторонних равна 180°: 3 + 5 = 180° .

7 8 b Соответственные углы равны: 1 = 5; 3 = 7; 2 = 6.

Треугольники

Медиана (ВD) – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

А С Делит сторону пополам .

Высота (ВК) –перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на противолежащую сторону или ее продолжение.

А С Образует со стороной прямой угол.

Биссектриса (ВМ)–делит угол пополам.

А М С

Равнобедренный треугольник

АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание.

Свойства.

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны ( ∠ А= ∠ С).

2. Медиана (В D), проведенная к основанию, является биссектрисой и

высотой.

3. Острые углы прямоугольного треугольника равны по 45°.

4. Все углы равностороннего треугольника равны по 60°

А С

В Внешний угол треугольника ( ∠ ВСD) – угол, смежный с внутренним.

2 Свойство: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

А 1 D ∠ ВСD = ∠1 + ∠ 2

Признаки равенства треугольников

В В I признак

= По двум сторонам и углу между ними.

АВ = А ₁В ₁ ; АС = А ₁ С ₁ ; А = А ₁

А С А₁ С

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

В В II признак

= По стороне и двум прилежащим к ней углам.

АС = А ₁ С ₁ ; А = А ₁ ; С = С

А С А С

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника, соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В В IIIпризнак

= По трем сторонам.

АВ = А В ; АС = А С ; ВС = В С .

А С А С

Если три стороны одного треугольника соответственно равны тремсторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы

и против равных углов лежат равные стороны.

Прямоугольные треугольники.

А Свойства:

катет Гипотенуза 1. Сумма острых углов равна 90° ( А + В = 90°)

а=5 c =10 2. Катет, лежащий против угла 30° , равен половине

30° гипотенузы. или с = 2а. С b В 3. Острые углы равнобедренного прямоугольного

треугольника равны по 45°.

Равенство прямоугольных треугольников

а) по катету и гипотенузе; =

б) по катету и острому углу; =

= в) по гипотенузе и острому углу; =

г) по двум катетам. =

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Теоремы: * В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона.

** Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

АС ˂ АВ +ВС; АВ ˂ АС + ВС; ВС ˂ АВ + АС.

В С

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Расстоянием от точки до прямой, А 4см Например:

называется длина перпендикуляра, расстояние от точки А до прямой т

проведенного из точки к прямой. В равно АВ = 4 см.

Степень aⁿ ( а – основание степени, n – показатель )

Определение: степенью числа а с натуральным показателем n , называется произведение п множителей, каждый из которых равен a.

a ⁿ = а ⋅ а ⋅ … ⋅ а а ¹ = а

п раз

Свойства степени.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается прежним, а показатели – складываются. a a = a
При делении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается прежним , а показатели – вычитаются. a : a = a .
При возведении степени в степень, основание остается прежним, а показатели –умножаются. ( a ) = a