Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

Теорема о циркуляции в электростатике: циркуляция вектора напряжённости электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

53. Потенциал поля точечного заряда q равен потенциальной энергии единичного точечного заряда q в данной точке поля:

. (2.3.5)

Потенциал электростатического поля системы точечных неподвижных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов поля каждого заряда в отдельности:

= ₁ + ₂+ ₃+ …+ _n. (2.3.6)

54-55

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости определяется формулой (82.1): E=/(2₀), где  — поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях х₁, и x₂от плоскости

140

(используем формулу (85.1)), равна

2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей определяется формулой (82.2): Е=/₀, где — поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов между плоскостями, расстояние между которыми равно d (см. формулу (85.1)), равна

3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R с общим зарядом Q вне сферы (r>R) вычисляется по (82.3):

E=(1/4₀)Q/r². Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и r₂от центра сферы (r₁>R, r₂>R), равна

Если принять r₁=r и r₂=, то потенциал поля вне сферической поверхности, согласно формуле (86.2), задается выражением

(ср. с формулой (84.5)). Внутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков и равен

График зависимости  от r приведен на рис. 134.

4. Поле объемно заряженного шара радиуса R с общим зарядом Q вне шара (r>R) вычисляется по формуле (82.3), поэтому разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁и r₂ от центра шара (r₁>R, r₂>R), определяется формулой (86.2). В любой точке, лежащей внутри шара на расстоянии r' от его центра (r'<R), напряженность определяется выражением (82.4): E=(1/4₀)(Q/R³)r'.Следовательно, разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r'₁и r'₂ от центра шара (r'₁<R, r'₂<R), равна

5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса К, заряженного с линейной плотностью т, вне цилиндра (r>R) определяется формулой (82.5): E=(1/2₀)(/r). Следовательно, разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁и r₂от оси заряженного цилиндра (r₁>R, r₂>R), равна

Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков

Диэлектрик (как и всякое вещество) состоит из атомов и молекул. Так как положительный заряд всех ядер молекулы равен суммарному заряду электронов, то молекула в целом электрически нейтральна. Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядом +Q, находящемся в центре «тяжести» положительных зарядов, а заряд всех электронов — суммарным отрицательным зарядом -Q, находящемся в центре «тяжести» отрицательных зарядов, то молекулу можно рассматривать как электрический диполь с электрическим моментом, определенным формулой (80.3).

Первую группу диэлектриков (N₂, H₂, О₂, СO₂, СH₄, ...) составляют вещества,

141 молекулы которых имеют симметричное строение, т. е. центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов в отсутствие внешнего электрического поля совпадают и, следовательно, дипольный момент молекулы р равен нулю. Молекулы таких диэлектриков называются неполярными. Под действием внешнего электрического поля заряды неполярных молекул смещаются в противоположные стороны (положительные по полю, отрицательные против поля) и молекула приобретает дипольный момент.

Вторую группу диэлектриков (H₂O, NH₃, SO₂, CO, ...) составляют вещества, молекулы которых имеют асимметричное строение, т. е. центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Таким образом, эти молекулы в отсутствие внешнего электрического поля обладают дипольным моментом. Молекулы таких диэлектриков называются полярными. При отсутствии внешнего поля, однако, дипольные моменты полярных молекул вследствие теплового движения ориентированы в пространстве хаотично и их результирующий момент равен нулю. Если такой диэлектрик поместить во внешнее поле, то силы этого поля будут стремиться повернуть диполи вдоль поля и возникает отличный от нуля результирующий момент.

Третью группу диэлектриков (NaCl, КСl, КВг,...) составляют вещества, молекулы которых имеют ионное строение. Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки с правильным чередованием ионов разных знаков. В этих кристаллах нельзя выделить отдельные молекулы, а рассматривать их можно как систему двух вдвинутых одна в другую ионных подрешеток. При наложении на ионный кристалл электрического поля происходит некоторая деформация кристаллической решетки или относительное смещение подрешеток, приводящее к возникновению дипольных моментов.

Таким образом, внесение всех трех групп диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит к возникновению отличного от нуля результирующего электрического момента диэлектрика, или, иными словами, к поляризации диэлектрика. Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей или появления под воздействием электрического поля ориентированных по полю диполей.

Соответственно трем группам диэлектриков различают три вида поляризации:

электронная, или деформационная, поляризация диэлектрика с неполярными молекулами, заключающаяся в возникновении у атомов индуцированного дипольного момента за счет деформации электронных орбит;

ориентационная, или дипольная, поляризация диэлектрика с полярными молекулами, заключающаяся в ориентации имеющихся дипольных моментов молекул по полю. Естественно, что тепловое движение препятствует полной ориентации молекул, но в результате совместного действия обоих факторов (электрическое поле и тепловое движение) возникает преимущественная ориентация дипольных моментов молекул по полю. Эта ориентация тем сильнее, чем больше напряженность электрического поля и ниже температура;

ионная поляризация диэлектриков с ионными кристаллическими решетками, заключающаяся в смещении подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных — против поля, приводящем к возникновению дипольных моментов.

Вопрос 56. Поляризованность диэлектрика(вектор поляризации).Напряженность поля в диэлектрике.

Диэлектрик, помещенный во внешнее электрическое поле, поляризуется под действием этого поля. Поляризацией диэлектрика называется процесс приобретения им отличного от нуля макроскопического дипольного момента.

Степень поляризации диэлектрика характеризуется векторной величиной, которая называется поляризованостью или вектором поляризации (P). Поляризованность определяется как электрический момент единицы объема диэлектрика

где N - число молекул в объеме V .

Поляризованность P часто называют поляризацией, понимая под этим количественную меру этого процесса.

В диэлектриках различают следующие типы поляризации: электронную, ориентационную и решеточную (для ионных кристаллов).

Электронный тип поляризации характерен для диэлектриков с неполярными молекулами. Во внешнем электрическом поле (рис. 2.1) положительные заряды внутри молекулы смещаются по направлению поля, а отрицательные в противоположном направлении, в результате чего молекулы приобретают дипольный момент, направленный вдоль внешнего поля

Индуцированный дипольный момент молекулы пропорционален напряженности внешнего электрического поля , где - поляризуемость молекулы. Значение поляризованности в этом случае равно , где n - концентрация молекул ; - индуцированный дипольный момент молекулы, который одинаков для всех молекул и направление которого совпадает с направлением внешнего поля.

Ориентационнный тип поляризации характерен для полярных диэлектриков. В отсутствие внешнего электрического поля молекулярные диполи ориентированы случайным образом, так что макроскопический электрический момент диэлектрика равен нулю.

Если поместить такой диэлектрик во внешнее электрическое поле, то на молекулу-диполь будет действовать момент сил (рис. 2.2), стремящийся ориентировать ее дипольный момент в направлении напряженности поля. Однако полной ориентации не происходит, поскольку тепловое движение стремится разрушить действие внешнего электрического поля.

Такая поляризация называется ориентационной. Поляризованность в этом случае равна , где <p> - среднее значение составляющей дипольного момента молекулы в направлении внешнего поля.

Решеточный тип поляризации характерен для ионных кристаллов. В ионных кристаллах (NaCl и т.д.) в отсутствие внешнего поля дипольный момент каждой элементарной ячейки равен нулю (рис. 2.3.а), под влиянием внешнего электрического поля положительные и отрицательные ионы смещаются в противоположные стороны (рис. 2.3.б). Каждая ячейка кристалла становится диполем, кристалл поляризуется. Такая поляризация называется решеточной. Поляризованность и в этом случае можно определить как , где - значение дипольного момента элементарной ячейки, n - число ячеек в единице объема.

Поляризованность изотропных диэлектриков любого типа связана с напряженностью поля соотношением (2) , где - диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.

Напряженность поля в диэлектрике

Для установления количественных закономерностей поля в диэлектрике внесем в однородное поле пластинку из диэлектрика. Под действием поля весь диэлектрик поляризуется. Положительные заряды смещаются по полю, отрицательные – против поля. В результате на правой грани будет избыток положительных зарядов, на левой – отрицательных зарядов. Заряды, появляющиеся в результате поляризации называются связанными.

Концентрация связанных зарядов меньше, чем свободных , поэтому поле создаваемое связанными зарядами не полностью компенсирует поле, создаваемое свободными зарядами . Часть линий напряженности пройдет сквозь диэлектрик, другая часть оборвется на связанных зарядах.Поле, которое будет устанавливаться в диэлектрике равно:

где (поле, создаваемое двумя бесконечными плоскостями). Тогда (3)

Определим поверхностную плотность связанных зарядов .Полный дипольный момент пластины диэлектрика равен , (4) где - поляризованность диэлектрика, - объем диэлектрика, - площадь грани пластины ,- ее толщина.

Дипольный момент пластины можно еще определить как произведение связанного заряда каждой грани на расстояние между ними

. (5)

Из сравнения (4) и (5) получаем, что . (6)

Поверхностная плотность связанных зарядов равна поляризованности . Подставив (6) в (3) и учитывая (2) получим

Отсюда следует , (7)

где - диэлектрическая проницаемость среды, показывающая во сколько раз поле ослабляется за счет диэлектрика.

Вопрос 57. Вектор электрического смещения. Теорема Гаусса для электростатического поля в диелектрике.

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды: в однородной изотропной среде напряженность поля Е обратно пропорциональна e(диэлектрическая проницаемость среды). Вектор напряженности Е, переходя через границу диэлектриков, претерпевает скачкообразное изменение, создавая тем самым неудобства при расчете электростатических полей. Поэтому оказалось необходимым помимо вектора напряженности характеризовать поле еще вектором электрического смещения,который для электрически изотропной среды по определению равен - D =e0eE.(89.1)

Так же вектор электрического смещения можно выразить как D=e0E+P.(89.2) Единица электрического смещения — кулон на метр в квадрате (Кл/м2).

Рассмотрим, с чем можно связать вектор электрического смещения. Связанные заряды появляются в диэлектрике при наличии внешнего электростатического поля, создаваемого системой свободных электрических зарядов, т. е. в диэлектрике на электростатическое поле свободных зарядов накладывается дополнительное поле связанных зарядов. Результирующее поле в диэлектрике описывается вектором напряженности Е, и потому он зависит от свойств диэлектрика. Вектором D описывается электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами. Связанные заряды, возникающие в диэлектрике, могут вызвать, однако, перераспределение свободных зарядов, создающих поле. Поэтому вектор D характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т. е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.

Аналогично, как и поле Е, поле D изображается с помощью линий электрического смещения, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий напряженности. Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах — свободных и связанных, в то время как линии вектора D — только на свободных зарядах. Через области поля, где находятя связанные заряды, линии вектора D проходят не прерываясь.

Для произвольной замкнутой поверхности поток вектора D сквозь эту поверхность

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике:

т. е. поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов. В такой форме теорема Гасса справедлива для электростатического поля как для однородной и изотропной, так и для неоднородной и анизотропной сред. Для вакуума Dn=e0Еn (e=1), тогда поток вектора напряженности Е сквозь произвольную замкнутую поверхность (ср. с (81.2)) равен

Так как источниками поля Е в среде являются как свободные, так и связанные заряды, то теорему Гаусса (81.2) для поля Е в самом общем виде можно записать как

где — соответственно алгебраические суммы свободных и связанных зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью. Однако эта формула неприемлема для описания поля Е в диэлектрике, так как она выражает свойства неизвестного поля Е через связанные заряды, которые, в свою очередь, определяются им же. Это еще раз доказывает целесообразность введения вектора электрического смещения.

Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 87; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 34

Мы поможем в написании ваших работ!