Множественная линейная регрессия
Если исследуется связь между функцией отклика 
и двумя ( 
), тремя ( 
) или более факторами, то регрессия называется множественной. Параметр может также называться зависимой переменной, а 
- независимыми переменными.
Уравнение линейной множественной регрессии имеет вид:
, (1)
где 
- расчетное значение функции отклика, полученное путем подстановки соответствующих значений факторов в уравнение регрессии; 
- значения факторов; 
- коэффициенты регрессии.
Значения 
определяются с помощью МНК. Коэффициенты минимизируют сумму квадратов отклонений экспериментальных значений функции отклика 
от теоретических 
, полученных расчетом по выбранному уравнению регрессии:
. (2)
Рассматривая 
в качестве функции параметров , вычислим частные производные и приравняем их нулю
; 
;…; 
. (3)
В результате получим систему нормальных уравнений с 
неизвестными (параметрами ):
(4)
Система (4) является линейной относительно неизвестных . Решается одним из известных способов. Например, методом обратной матрицы.
Проверка значимости (адекватности) уравнения регрессии в целом
После расчета коэффициентов регрессии необходимо оценить статистическую значимость (адекватность) полученного уравнения регрессии. Т.е. количественно оценить качество описания уравнением опытных данных.
|
|
|
Сначала рассчитаем суммы квадратов отклонения 
:
а) 
- сумма квадратов отклонений эмпирических данных от среднего:
. (1)
характеризует общую изменчивость , т.е. влияние как основных, так и остаточных факторов. Основные факторы – переменные 
, входящие в уравнение регрессии.
б) 
- сумма квадратов отклонений расчетных данных (по уравнению регрессии) от среднего:
. (2)
Данная величина характеризует факторную изменчивость, т.е. влияние на основных факторов .
в) 
- сумма квадратов отклонений эмпирических данных от расчетных:
. (3)
Данная величина характеризует остаточную изменчивость, отражающую влияние остаточных факторов на .
Причем
;
(4)
.
В программе «Регрессия» в таблице «Дисперсионный анализ» суммы квадратов размещены в строках:
« » - заголовок столбца;
«Регрессия» → (факторная изменчивость);
«Остаток» → (остаточная изменчивость);
«Итого» → (общая изменчивость).
С указанными выше суммами квадратов (или изменчивостями) связаны следующие степени свободы:
|
|
|
для → степень свободы 
(число факторов );
для → степень свободы 
;
для → степень свободы 
.
Причем
;
(5)
.
В программе «Регрессия» степени свободы записаны в столбце « 
» и строках: «Регрессия» → 
; «Остаток» → 
; «Итого» → 
.
Отношение факторной изменчивости к общей называется коэффициентом детерминации:
. (6)
В программе «Регрессия» 
записан в строке « 
-квадрат» (таблица «Регрессионная статистика»).
Если 
, то функция отклика не зависит от факторов . Если 
, то изменчивость обусловлена влиянием только факторов .Все экспериментальные точки лежат на одной линии.
При вероятностной (стохастической связи) 
. При значениях
Рис. 2. Лист Excel с результатами работы программы «Регрессия»
(парная регрессия)
считается, что вариация функции отклика обусловлена в основном влиянием включенных в регрессионную модель факторов .
|
|
|
Коэффициент множественной корреляции 
. При зависимости от одного фактора 
. В программе - «Множественный ».
В большинстве случаев уравнение регрессии строят на основе выборочных данных. Поэтому необходимо оценить адекватность полученного уравнения генеральным данным. Для этого проводится проверка статистической значимости коэффициента детерминации по критерию Фишера:
, (7)
где 
- расчетное значение критерия Фишера;
- факторная дисперсия;
- остаточная дисперсия;
; (8)
. (9)
В программе «Регрессия» в таблице «Дисперсионный анализ» дисперсии находятся в столбце « 
» в строках:
→ «Регрессия»;
→ «Остаток»;
расчетное значение коэффициента Фишера – в столбце « ».
Коэффициент детерминации считается значимым при выполнении условия:
(10)
где 
- табличное значение коэффициента Фишера; его можно определить с использованием стандартной функции FРАСПОБР.
В программе «Регрессия» вместо проверки условия (10) заложен другой подход. В столбце «Значимость » приводится значение уровня значимости, соответствующее вычисленному значению . Обозначим его 
. Значение в программе определяется с использованием функции
|
|
|
.
Если выполняется условие
, (11)
то и в целом уравнение регрессии считается значимым. Здесь 
- заданный уровень значимости; обычно 
.
В программе в таблице «Регрессионная статистика» приводится значение «Стандартная ошибка». Это среднеквадратичное отклонение:
(12)
Чем меньше 
, тем лучше уравнение регрессии описывает опытные данные.
Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 57; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!