Дифференциальное исчисление функции одного переменного.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ковровская государственная технологическая академия имени В.А. Дегтярева»
ПРЕДЕЛЫ. ПРОИЗВОДНЫЕ.
Контрольная работа по математике для заочного отделения.
Миронова Е.А.
Юлина Н.А.
г. Ковров 2013 г.
Методические указания предназначены в качестве пособия для студентов заочного отделения технических специальностей. Содержат в себе сжатый теоретический материал и индивидуальные задания к первой контрольной работе по математике.
Предел функции.
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
, кроме, быть может, самой этой точки.
Число 
называется пределом функции при 
, если для любого положительного числа 
найдется такое положительное число 
, что для всех 
, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
.
Записывают: 
.
Перечислим свойства пределов функции, которые облегчают решение задачи отыскания пределов:
1. 
, где 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. если и 
, то 
.
При этом предполагается, что все пределы существуют. Точка 
может быть как действительным числом, так и 
.
Если при отыскании пределов функций возникает ситуация, когда невозможно напрямую применить вышеперечисленные свойства, то имеет место неопределенность и возникает задача раскрытия неопределенности.
|
|
|
Наиболее часто встречаются неопределенности вида: 
, 
, 
, 
.
Рассмотрим некоторые методы раскрытия этих неопределенностей.
1.1 Неопределенность . Отношение многочленов.
Если Pn(x) и Q m(x) – многочлены степени n и m, и 
и 
, то при вычислении 
имеем неопределённость . Для её раскрытия делим числитель и знаменатель на х в наибольшей степени. При этом стоит помнить, что 
и 
.
1.2 Неопределенность .
а) Отношение многочленов.
Если 
и 
, то при вычислении 
имеем неопределённость вида . Для её раскрытия необходимо числитель и знаменатель разложить на простейшие множители, т.е. представить функции 
и 
в виде: 
и 
, где 
и 
.
Тогда
При этом 
.
б) Первый замечательный предел.
Для отыскания пределов функций вида 
(здесь 
– некоторая функция) может быть использован так называемый первый замечательный предел
. (1.1)
в) Общий случай.
Если , то называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) в окрестности точки .
Две б.м.ф. и называются эквивалентными б.м.ф. в окрестности точки , если 
, и обозначают 
, при 
.
|
|
|
Стоит отметить, что предел отношения двух б.м.ф. не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей б.м.ф., т.е. если 
и 
, то
. (1.2)
Приведем таблицу важнейших эквивалентностей при 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
1.3 Неопределенность .
Если 
и 
, то при вычислении 
получим неопределённость . Решая поставленную задачу необходимо при помощи алгебраических преобразований свести эту неопределённость к виду или .
1.4 Неопределенность .
В этом случае наряду с уже рассмотренными методами можно применить так называемый второй замечательный предел:
. (1.3)
Дифференциальное исчисление функции одного переменного.
Производная функции.
Пусть функция определена в некотором интервале (а;b). Возьмём произвольную точку 
. Для любого 
разность 
называется приращением аргумента х в точке 
и обозначают Dх:
.
Разность 
называется приращением функции в точке и обозначается Dу: 
или 
.
Производной функции в точке 
называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последнее стремиться к нулю.
|
|
|
Обозначается: 
или 
.
По определению
.
Функция в этом случае называется дифференцируемой в точке .
Перечислим основные свойства производной.
Пусть 
и 
– дифференцируемые функции, а 
, тогда
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
( 
).
Пусть 
и 
, тогда 
называется сложной функцией с промежуточным аргументом 
и независимой переменной .
Если и - дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции 
существует и находится по формуле
. (2.1)
Таблица производных.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Если зависимость между аргументом и функцией 
задана параметрически, т.е. в виде 
, то производная 
находится по формуле
. (2.2)
Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка от функции и обозначается 
или 
. Таким образом
. (2.3)
Производной 
-го порядка называется производная от производной 
-го порядка и определяется формулой
|
|
|
. (2.4)
Если функция задана параметрически, т.е. , то справедлива формула
. (2.5)
Дифференциал функции.
Дифференциалом функции в точке называется произведение производной функции на дифференциал независимой переменной, и обозначается 
или 
.
Таким образом
. (2.6)
Сформулируем свойства дифференциалов.
Пусть и – дифференцируемые функции. Тогда
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. Если и – дифференцируемые функции, то 
.
Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 170; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!