ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Метод непосредственного интегрирования
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределённого интеграла приводится к одному или нескольким табличным, называется непосредственным интегрированием.
Замечание 1.
Под тождественными преобразованиями будем понимать:
- применение формул элементарной математики;
- почленное деление числителя подынтегрального выражения на знаменатель;
- дополнительные или искусственные преобразования, которые не нарушают равносильности выражения.
Интегрирование алгебраических функций
1 
Выполните самостоятельно
2 
3 
4 
5 
Выполните самостоятельно
6 
7 
8 
Указание. Примените формулу 
9 
Указание. Числитель ПФ разложите на множители: 
10 
Указание. В числителе ПФ примените формулу: 
11 
. 12 
.
Указание. Числитель ПФ разложите на множители: 
13 
Интегрирование тригонометрических функций
14 
.
15 
. 
Выполните самостоятельно
18 
Указание. Примените формулу 
и выполните почленное деление числителя ПФ на знаменатель.
19 
20 
21 
Указание. Примените формулу: 
.
22 
=|примените формулу: 
|= 
= |примените формулу 
|= 
= 
=| примените формулы 
|= 
|
|
|
Интегрирование дробно- рациональных функций с помощью дополнительных преобразований
Замечание. При вычислении неопределенных интегралов непосредственным способом применяются дополнительные или искусственные преобразования, не нарушающие равносильности подынтегральной функции.
Рассмотрим на конкретных примерах
23 
.
24 
.
25 
.
26 
Выполните самостоятельно
27 
28 
29 
30 
31 
Метод интегрирования подстановкой (замена переменной)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введение новой переменной интегрирования (т.е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводится (в случае «удачной» подстановки). Умение правильно определить подстановку приобретается практикой. Тем не менее, рассмотрим несколько общих подходов (назовем их правилами) к данному методу, что позволит систематизировать умение интегрировать методом подстановки и определять новую переменную.
2.2.1 Интегрирование функций (табличные интегралы) к аргументу, которых прибавляется постоянная величина
|
|
|
Рассмотрим некоторые табличные интегралы к аргументу, которых прибавляется (вычитается) постоянная величина 
.
32 
Решение. Введем подстановку x +2 = t (*). Найдем дифференциал от правой и левой частей равенства (*), получим:
, 
,
Подставим вместо x +2 и 
их значения через t в данный интеграл, получим:
Легко заметить, что формулы интегрирования сохраняют инвариантность (вид). В данном случаи степенная функция интегрируется по аргументу (х+2).
33 
Правило 1
Если к аргументу подынтегральной функции прибавляется (вычитается) постоянная величина  , то формулы интегрирования сохраняют инвариантность
|
34 
2.2.2 Интегрирование функций (табличные интегралы) аргумент, которых умножается
На постоянную величину
Рассмотрим некоторые табличные интегралы аргумент, которых умножается на постоянную величину 
35 
Решение. Введем подстановку 3 x = t (*). Найдем дифференциал от правой и левой частей равенства (*), получим:
|
|
|
, 
, 
Подставим вместо 
и их значения через t в данный интеграл, получим:
| заменим t его выражением через x|= 
Замечание В дальнейшем процедура решения, представленная, в примерах 32, 35 будет записываться в виде:
.
36 
Правило 2
Если аргумент подынтегральной функции умножается на постоянную величину  , то формулы интегрирования сохраняют инвариантность, результат интегрирования умножается на число  .
|
37 
38 
Замечание. Правила 1 и 2 к подынтегральной функции могут применяться одновременно.
39 
40 
41 
42 
43 
Выполните самостоятельно
44 
.
45 
46 
.
49 
.
48 
2.4 Интегралы вида: 
, 
Интегралы данного вида находятся путем выделения полного квадрата из данного
квадратного трехчлена по формуле:
(**) и применения правил 1,2.
Интеграл , после выделения полного квадрата сводится к формулам 9 или 10.
|
|
|
Интеграл , после выделения полного квадрата сводится к формулам 8 или
11.
50 
|выделите в знаменатели ПФ полный квадрат по формуле (**)| = 
51 
52 
= (сомножитель (-1) внесем в квадратные скобки, получим 
)=
Выполните самостоятельно
53 
54 
55 
56 
2.2.3 Интегрирование дробных функций (рациональных или иррациональных), когда в знаменатели или под корнем в знаменатели стоит функция, производная которой равна числителю (или приводится к числителю).
Интегралы этого вида находятся путем замены многочлена стоящего в знаменателе ПФ новой переменной
57 
Замечаем, что производная знаменателя ПФ 
, отличается от числителя только постоянным множителем. Выполним интегрирование, за новую переменную примем 
58 
Легко заметить, что если в числителе стоит производная знаменателя, то интеграл всегда равен натуральному логарифму знаменателя.
59 
60 
61 
Правило 3
Если под знаком интеграла стоит дробная функция (рациональная или иррациональная), в знаменателе которой или под корнем в знаменателе содержится функция, производная которой равна числителю (или приводится к числителю), то интеграл вычисляется способом замены переменной, причем функция, стоящая в знаменатели обозначается за t .
 где  или  где , то 
|
Выполните самостоятельно
62 
63 
64 
65 
2.2.4 Интегралы вида: 
В пункте 2.2.4 рассмотрим интегралы, в которых ПФ представлена как произведение сложной функции и производной ее промежуточного аргумента. В этом случае промежуточный аргумент принимается за новую переменную t .
Например 
Функция 
сложная, ее промежуточный аргумент равен 
, производная которого 
содержится в ПФ, поэтому интеграл сводится к табличной подстановке 
Рассмотрим интегралы данного вида
66 
67 
= 
68 
69 
70 
71 
72 
73 
Выполните самостоятельно
74 
75 
76 
77 
Правило 4
Если под знаком интеграла стоит сложная функция в произведение с производной своего промежуточного аргумента , то интеграл вычисляется способом замены переменной, причем промежуточный аргумент обозначается за t .
, 
|
Замечание Используя правило 4 вычисляются интегралы, которые с помощью подстановки сводятся к табличным интегралам по формулам 8-11. (Обратите внимание, что данные интегралы имеют «специфический» вид).
78 
79 
80 
81 
Выполните самостоятельно
82 
83 
84 
85 
Дата добавления: 2021-01-20; просмотров: 74; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!