Свойства неопределённого интеграла
Пояснительная записка
Настоящее учебно-методическое пособие состоит из двух частей:
1 Неопределенный интеграл
2 Основные способы интегрирования
2.1 Непосредственный способ интегрирования
2.2 Метод интегрирования подстановкой
2.3 Интегрирование по частям.
Каждый способ структурирован по общим признакам интегрирования, содержит набор интегралов с решениями и для самостоятельного решения студента. Интегралы для самостоятельного решения сопровождаются указаниями и ответами. Такая структура учебно-методического пособия делает его удобным для самостоятельного овладения основными способами интегрирования при минимальной помощи со стороны преподавателя.
В пособии представлены образцы интегрирования функций. По тексту для всех рассматриваемых интегралов предусмотрена единая нумерация.
Непосредственный способ интегрирования
1 | 5 | 13 |
14 | 1 5 | 16 |
17 | 23 | 2 4 |
25 | 26 |
Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
32 | 33 | 34 |
35 | 36 | 37 |
38 | 39 | 40 |
41 | 42 | 43 |
50 | 5 2 | 5 3 |
57 | 58 | 59 |
60 | 61 | 66 |
67 | 68 | 69 |
70 | 71 | 72 |
73 | 78 | 79 |
80 | 81 | 86 |
87 | 88 | 89 |
95 | 96 | 101 |
102 |
Метод интегрирования по частям
111 | 112 | 113 |
114 | 115 | 116 |
117 | 118 | 129 |
Пособие может быть использовано студентами для самостоятельного изучения соответствующего материала, выполнения практического занятия 16 Основные способы интегрирования и самостоятельной работы студента 16 Интегрирование функций: непосредственным способом, заменой переменной, по частям.
|
|
Данное учебно-методическое пособие является базовым для подготовке студентов к экзамену по модулю ЕН.01.М.07 Интегральное исчисление.
Работая с пособием, студенты имеют возможность одновременно обращаться к учебной и справочной литературе:
- Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа: Учеб. Пособие/ Бермант А.Ф., Араманович И.Г. – 8-е изд., стер. – М.: Наука, 1973. – 720с.: ил.
Глава 5 Интеграл. Интегральное исчисление, §1 Неопределенный интеграл,
п.78-81;
- Подольский, В.А. Сборник задач по математике: Учеб. пособие/Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. – 3-е изд., стер. – М.: Высш.шк., 2005. – 495 с.: ил.
Глава 12 Неопределенный интеграл, §1-§3.
Неопределенный интеграл
Понятие неопределенного интеграла
Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции.
|
|
Разнообразные вопросы математического анализа, его многочисленные приложения в геометрии, физике, химии приводят к решению обратной задачи: по заданной функции найти такую функцию , производная которой была бы равна функции , т.е. найти функцию , зная её производную .
Обратную задачу решает интегральное исчисление.
Восстановление функции по известной производной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.
Определение. Функция называется первообразной функции в данном интервале, если во всех точках этого интервала её производная равна заданной функции, т.е. .
Из определения вытекают три вопроса.
1 Любая ли функция имеет первообразную?
2 Если существует, то сколько первообразных может иметь заданная функция?
3 Как найти эти первообразные?
Ответы на эти вопросы дают теоремы.
Теорема 1 (без доказательства)
Если функция непрерывная в данном интервале, то она имеет первообразную.
Теорема 2 Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных
Пусть - первообразная функции , тогда и функция так же является её первообразной. Действительно :
|
|
Например, первообразной функции является функция , т.к.
Очевидно, что первообразными будут также любые функции где С – постоянная, поскльку
Теорема 3 (без доказательства)
Любые две первообразные функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.
Определение Неопределенным интегралом для заданной функции называется совокупность всех её первообразных и обозначается .
Таким образом, по определению
(*)
В равенстве (*):
- подынтегральная функция (ПФ);
- подынтегральное выражение (ПВ);
- первообразная функции;
- совокупность первообразных;
- дифференциал независимой переменной, указывает по какой переменно функция интегрируется.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Интегрирование действие обратное дифференцированию и его можно проверить дифференцированием.
Свойства неопределённого интеграла
1.2.1 Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
1.2.2 Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:
|
|
1.2.3 Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
1.2.4 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
1.2.5 Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функции:
1. 3 Таблица основных интегралов
1 | 8 | ||
2 | 8.1 | ||
2.1 | 8.2 | ||
2.2 | 9 | ||
3 | 9.1 | ||
3.1 | 9.2 | ||
3.2 | 10
Мы поможем в написании ваших работ! |