Тема 4. Алгебраические операции на множестве
Методические рекомендации
В данной теме предлагаются задачи, связанные с выяснением являются ли алгебраическими заданные операции на конкретном множестве и установлением свойств алгебраических операций.
Для решения задач данной темы необходимо:
| знать: – определение алгебраической операции на множестве; – определение множества замкнутого относительно алгебраической операции; – определение частичной алгебраической операции на множестве; – свойства алгебраических операций. | уметь: – - определять являются ли алгебраическими заданные операции на конкретном множестве; – - устанавливать какими свойствами обладает заданная алгебраическая операция на конкретном множестве. |
Образец выполнения задания
Задача. Выясним, являются ли сложение и вычитание алгебраическими операциями на множестве Х целых четных чисел.
Решение:
Пусть х и у – два произвольных целых четных числа. Тогда х=2m, у=2n, где m и n – произвольные целые числа. Рассмотрим их сумму и разность: х + у = 2m + 2n = 2(m+n); х – у = 2m – 2n = 2(m-n).
Поскольку сумма m + n и разность m – n целых чисел вполне определены и являются целыми числами, то сумма х + у = 2(m + n) и разность х – у = 2(m – n) также определены и являются целыми четными числами. Следовательно, сложение и вычитание являются алгебраическими операциями на множестве целых четных чисел, и множество Х замкнуто относительно операций сложения и вычитания.
|
|
|
Задача. Какие из следующих алгебраических операций:
а) х * у = 2х + у; б) х * у = 2х + 2у
являются коммутативными на множестве натуральных чисел N?
Решение:
Для проверки коммутативности операции * достаточно проверить справедливость равенства х * у = у * х:
а) х * у = 2х + у; у * х = 2у + х. Так как 2х + у ≠ 2у + х при х ≠ у, то данная операция * не является коммутативной на множестве N;
б) х * у = 2х + 2у = 2(х + у); у * х = 2у + 2х = 2(у + х). Поскольку для любых натуральных чисел х и у выполняется коммутативный закон сложения, т.е. х + у = у + х, то 2(х + у) = 2(у + х), а это означает, что данная операция * является коммутативной на множестве N.
Тема 5. Выражения. Уравнения. Неравенства
Методические рекомендации
Уравнения необходимы как математический аппарат для решения многих задач. Первоначальное знакомство с ними происходит в начальном курсе математики. Задачи данной темы связаны с уточнением и углублением знаний о решении, обосновании решения уравнений на множестве действительных чисел, текстовых задач арифметическим и алгебраическим способами.
В данной теме рассматриваютсяразличные типы текстовых задач: «на движение» (встречное и в одном направлении), «на работу», «на части» и др. Несмотря на то, что каждый тип имеет свои специфические подходы к решению, существуют и определенные общие положения, которым необходимо следовать.
|
|
|
Решая любую текстовую задачу арифметическим методом, надо:
1) проанализировать её (определить вид, выделить условия и вопрос задачи, выявить зависимость между данными величинами и искомыми и др.);
2) сделать символические записи, таблицы, схемы, рисунки, отражающие проведенный анализ (это требование реализуется в том случае, когда после анализа задачи еще не ясен план ее решения);
3) осуществить поиск способа решения (продумать, какие величины нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи; попытаться видоизменить ее, упростив условия или заменив их временно более удобными для поиска и др.);
4) записать найденное решение;
5) выполнить его проверку.
Решая задачу алгебраическим методом, т.е. методом составления уравнений, надо:
1) проанализировать ее (определить вид, выделить условие и вопрос, выявить зависимость между данными величинами и искомыми и т.д.);
2) сделать символические записи, таблицы, схемы, рисунки, отражающие проведенный анализ;
3) обозначить величину, которую требуется найти в задаче через 
(иногда через обозначают не ту величину, которая указана в вопросе, а другую, находящуюся с ней в некоторой зависимости);
|
|
|
4) выразить остальные неизвестные величины через и данные в условии величины;
5) составить выражение (на основе имеющейся зависимости между неизвестными и данными величинами), значение которого было бы известно по условию;
6) записать полученное уравнение;
7) решить его;
8) выполнить проверку решения.
Чтобы успешно решать задачи, студент должен уметь:
– проводить анализ задачи, вычленять условие и вопрос, выделять неизвестные величины и устанавливать зависимости между ними;
– выполнять схематические чертежи, рисунки, краткую запись условия;
– проводить необходимые алгебраические преобразования и выполнять действия с действительными числами;
– решать линейные и квадратные уравнения.
Для решения задач данной темы необходимо
| знать: – определение уравнения с одной переменной, корня уравнения; – что значит решить уравнение; – способы решения уравнений; – понятие текстовой задачи; – методы и способы решения текстовых задач. | уметь: – решать различными способами и обосновывать решение уравнений с одной переменной; – решать различными методами, способами и обосновывать решение текстовых задач. |
Образец выполнения задания
|
|
|
Задача. Решите уравнение, используя зависимость между компонентами и результатом действия.
, х Î R
Решение:
В левой части уравнения имеем частное. Переменная входит в состав делимого, значит, неизвестно делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
Отсюда 
В новом уравнении неизвестно уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
Имеем: 
В полученном уравнении неизвестен второй множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, надо значение произведения разделить на известный множитель.
Имеем: 
Чтобы получить несократимую запись дроби, нужно числитель и знаменатель разделить на их наибольший общий делитель, который находим с помощью алгоритма Евклида или используем каноническое разложение чисел. НОД(92, 140)=4. Следовательно, 
Проверка: Проверим, верно ли нашли, корень уравнения. Для этого, подставим найденное значение переменной в исходное уравнение и найдем значение выражений в правой и левой частях уравнения.
Имеем верное равенство
Ответ: 
Задача. Решите уравнение, используя свойства равносильных уравнений.
– 
= 
(Т1 ур.; тождественные преобразования)
– – 
= 0 (тождественные преобразования)
= 0 (тождественные преобразования)
(Т2 ур.)
(формула корней квадратного уравнения)
Þ
Ответ: 
Задача. Пешеход прошел расстояние от станции до поселка за 5 ч., а велосипедист проехал это же расстояние за 2 ч. Найдите скорость пешехода, если скорость велосипедиста больше скорости пешехода на 6 км/ч.
Решение.
а) Арифметический способ.
Анализ задачи. Скорость велосипедиста больше скорости пешехода на 6 км/ч, поэтому за 2 ч он проедет на 12 км больше, чем пешеход. Чтобы пройти эти 12 км, пешеходу нужно дополнительно еще 3 ч времени (5-2=3).
Зная путь и время, затраченное на него, можно найти скорость движения.
Схематическая запись зависимостей между величинами, данными в задаче, должна быть представлена на рисунке.
Запись решения.
1) На сколько километров больше проедет велосипедист за 2ч, чем за это же время пройдет пешеход?
6*2=12 (км).
2) Сколько времени нужно пешеходу, чтобы пройти 12 км?
5-2=3 (ч).
3) Какова скорость пешехода?
12:3=4 (км/ч).
Ответ: скорость пешехода 4 км/ч.
б) Алгебраический способ.
Анализ задачи. По условию, что велосипедист и пешеход прошли одно и то же расстояние, но поскольку скорость велосипедиста больше, то он затратил на путь 2 ч, а пешеход – 5 ч.
Схематическая запись зависимостей между величинами должна быть представлена на рисунке.
Составление уравнения:
Пусть скорость пешехода км/ч, тогда скорость велосипедиста ( +6) км/ч. Пешеход прошел (5 ) км, что по условию равно 2( +6) км, т.е. расстоянию, пройденному велосипедистом.
Получаем уравнение: 5 =2( +6).
Решение: 5 =2( +6), 5 =2 +12, 3 =12, =4.
Проверка. Пусть скорость пешехода 4 км/ч, тогда скорость велосипедиста равна 10 км/ч (4+6=10). Зная скорость пешехода и время его движения, можно найти расстояние от станции до поселка, оно будет равно 20 км(45=20). Но тогда велосипедисту потребуется 2 ч пути (20:10=2), что соответствует условию задачи.
Ответ: скорость пешехода 4 км/ч.
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 1476; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!