Тема 3. Отношения между элементами одного множества
Тема 1. Соответствия между элементами двух множеств
Методические рекомендации
В данной теме предлагаются задания, связанные с рассмотрением пар объектов, образованных из элементов первого множества и соответствующих элементов другого множества. В задачах требуется задать соответствие разными способами, найти соответствие, обратное и противоположное данному.
Для решения задач данной темы необходимо:
| знать: – определение соответствия между множествами; – способы задания соответствий; – определение соответствия, обратного данному; – определение соответствия, противоположного данному. | уметь: – находить пары элементов, находящихся в данном соответствии; – задавать соответствие разными способами; – строить график соответствия между числовыми множествами; – находить соответствия, обратное и противоположное данному. |
Образец выполнения задания
Задача. Соответствие R: «число х на 2 больше числа у» задано между элементами множеств Х = {2, 3, 6, 9}, У = {1, 4, 5, 7}.
1. Постройте граф соответствия R;
2. Найдите соответствие, обратное данному, постройте графики соответствия R и R-1 ;
3. Задайте соответствие R при помощи уравнения.
Решение.
1. Построим граф соответствия R. Для этого изобразим точками элементы множеств Х и У и соединим стрелками те из них, которые находятся в данном соответствии.
2. Чтобы построить график соответствия R, выпишем пары чисел из множества ХхУ, связанные соответствием «быть больше на 2»: R={(3, 1); (6, 4); (9, 7)}.
|
|
|
Изобразив каждую пару чисел точкой на координатной плоскости, получим график соответствия R.
Найдем соответствие R-1 , обратное данному. Для этого поменяем местами компоненты в парах, находящихся в соответствии R: R-1 = {(1, 3); (4, 6); (7, 9)}. Изобразив каждую пару чисел точкой на координатной плоскости, получим график соответствия R-1 .
3. В условии задачи соответствие R задано при помощи предложения с двумя переменными х и у, которые можно записать в виде уравнения х = у + 2 ( или х – у = 2 или у = х – 2).
Тема 2. Числовые функции
Методические рекомендации
В данной теме представлены задачи, решение которых основывается на знании определения и способов задания функции, а также умении распознавать различные функциональные зависимости в начальном курсе математики.
Решение задач первого типа основано на определении числовой функции, способах задания функций.
Ко второму типу относятся задачи с пропорциональными величинами. Решая задачи с пропорциональными величинами, можно следовать такому плану:
1) установить, какие величины рассматриваются в задаче, и в какой зависимости они находятся;
|
|
|
2) решить задачу двумя способами, один из которых основан на нахождении коэффициента пропорциональности, а другой использует свойство прямой (обратной) пропорциональности.
Для решения задач данной темы необходимо:
| знать: – определение числовой функции; – способы задания функций; – область определения, область значений числовой функции; – определение прямой (обратной) пропорциональности; – свойства прямой (обратной) пропорциональности. | уметь: – задавать функции разными способами; – строить график числовой функции; – находить область определения, область значений числовой функции; – распознавать прямую или обратную пропорциональность; – применять свойства прямой (обратной) пропорциональности при решении задач. |
Образец выполнения задания
Задача. Графиком функции является луч ОМ, который проходит через начало координат и точку с координатами (1; -3), начало луча совпадает с началом координат.
1. Постройте график функции.
2. Укажите область её определения.
3. Напишите формулу, с помощью которой можно задать эту функцию.
4. Приведите пример задачи из учебников для начальных классов, где по существу речь идет о задании функции при помощи формулы.
|
|
|
Решение:
1.Для построения графика функцииизображаем координатную плоскость, на ней указываем точки с координатами О(0; 0), М(1; -3), через эти точки проводим луч ОМ с началом в точке О.
2. Областью определения данной функции является числовой луч [0; ∞).
3. Так как прямая ОМ проходит через начало координат, то её можно задать в виде у=kx. Координаты точки (1; -3), через которую эта прямая проходит, позволяют найти k: -3=k*1, т.е. k=-3. Следовательно, функцию, график которой был построен можно задать формулой у=-3х.
4. Во втором классе учащиеся решают задачу: «39+а. Вычислите значение суммы, если а принимает значения: 0, 6, 15, 31, 46, 52». Так как каждому значению переменной а сопоставляется при вычислении единственное значение суммы 39+а, то зависимость между переменными а и 39+а есть функция.
Если обозначить сумму 39+а какой-либо буквой, например b, то, вычисляя значения суммы, имеем дело с нахождением значений функции, заданной формулой b=39+а.
Задача. Масса 280 л бензина 196 кг. Какова масса 250 л бензина?
Решение:
В задаче рассматриваются объём и масса бензина, которые связаны прямой пропорциональной зависимостью, так как характер изменения одной величины (например, увеличение или уменьшение в несколько раз) определяет характер изменения (соответственно увеличение или уменьшение в несколько раз) другой величины. Иначе: если обозначить через х (л) объем бензина, через у (кг) – его массу, а через k – массу 1 л бензина, то у=kх. Зависимость между х и у, выражаемая данной формулой, прямо пропорциональная.
|
|
|
Рассмотрим два способа решения задачи.
Первый способ (нахождение коэффициента пропорциональности):
1) находим массу 1 л бензина:
196 : 280 = 0,7 (кг);
2) находим массу 250 л бензина:
0,7 * 250 = 175 (кг).
Второй способ(основан на свойстве прямой пропорциональности).
Так как зависимость между массой и объемом бензина прямо пропорциональная, то во сколько раз уменьшился объем бензина, во столько же раз уменьшится и его масса. Используем это свойство при решении задачи:
1) находим, во сколько раз 250 л бензина меньше 280 л:
250 : 280 = 25/28 (раза);
2) находим массу 250 л бензина:
196 * 25/28 = 175 кг.
Ответ: масса 250 л бензина 175 кг.
Задача (из начального курса математики). Из куска ткани можно сшить 16 детских плащей, расходуя на каждый по 2 м. Сколько плащей для взрослых выйдет из этого куска, если расходовать по 4 м ткани на каждый плащ?
Решение:
В задаче рассматриваются величины: количество ткани, количество плащей и количество (расход) ткани на один плащ. Первая величина – постоянная, две другие – переменные, причем зависимость между ними обратно пропорциональная.
Обозначим через х(м) количество ткани, расходуемой на один плащ; k(м) – количество всей ткани; у – количество сшитых плащей. Тогда у=k/х и зависимость между х и у обратно пропорциональная.
Решить задачу можно двумя арифметическими способами.
Первый способ (нахождение коэффициента пропорциональности):
1) 2 * 16 = 32 (м) – ткани в куске;
2) 32 : 4 = 8 (плащей) – для взрослых можно сшить из куска ткани.
Второй способ(основан на свойстве обратной пропорциональности).
1) 4 : 2 = 2 (раза) – во столько раз больше надо ткани на плащ для взрослых;
2) 16 : 2 = 8 (плащей) – столько плащей для взрослых можно сшить из куска ткани.
Решая задачу первым способом, сначала нашли коэффициент пропорциональности k: k=32. Тем самым получили возможность выразить зависимость между величинами формулой у=32/х; затем, зная конкретное значение переменной х (х=4), нашли соответственное значение у (у=8).
Второй способ основан на свойстве обратной пропорциональности: с увеличением (уменьшением) значения одной переменной в несколько раз значение другой переменной уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Для данной задачи: во сколько раз больше надо ткани на один плащ для взрослого, во столько раз меньше можно сшить плащей из одного и того же куска ткани.
В начальных классах данную задачу можно решить двумя приведенными выше способами, опираясь при этом на интуитивные представления и опыт детей. Однако если отношение величин (в данном случае двух длин) не будет выражаться натуральным числом, то решение задачи вторым способом в начальных классах невозможно, например:
«Из куска ткани можно сшить 16 плащей, расходуя на каждый по 3 м. Сколько плащей выйдет из этого куска, если расходовать по 4 м на каждый плащ?».
Тема 3. Отношения между элементами одного множества
Методические рекомендации
В данной теме задачи связаны с определением свойств отношений на множестве.
Для их решения необходимо
| знать: – определения свойств отношений, отношений эквивалентности и порядка; – условия разбиения множества на классы. | уметь: – правильно формулировать свойства отношений; – выделять классы разбиения, определяемые отношением эквивалентности; – выявлять свойства отношений по его графу. |
Образец выполнения задания
Задача. На множестве А, состоящем из конечных множеств, задано отношение R: «множество Х равномощно множеству У». Определяет ли отношение R разбиение множества А на классы эквивалентности? Каковы они?
Решение.
Отношение R является отношением эквивалентности, так как оно
а) рефлексивно: любое множество Х равномощно самому себе;
б) симметрично: если множество Х равномощно множеству У, то множество У равномощно множеству Х;
в) транзитивно: если множество Х равномощно множеству У, а множество У равномощно множеству Z, то множество Х равномощно множеству Z.
Как известно, любое отношение эквивалентности, заданное на множестве А, определяет разбиение этого множества на классы. В данном случае каждый класс будет состоять из конечных множеств, равномощных между собой (т.е. любые два множества одного класса будут равномощными, а любые два множества различных классов – неравномощными).
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 516; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!