Задача 238. Вывод уравнения касательной.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Рассмотрим треугольник, его катеты равны и , так как тангенс угла наклона касательной это . Направляющий вектор для прямой направлен в точности по гипотенузе. При этом, мы можем пропорционально увеличить этот треугольник, тогда катеты будут такие: 1 и .Соответственно, направляющим вектором можем считать такой вектор: .

Возьмём теперь точку где-нибудь на касательной. Она принадлежит касательной в точности тогда, когда вектор коллинеарен направляющему вектору этой прямой, т.е. .

Запишем пропорцию координат так, как это всегда делали в теме «аналитическая геометрия». Получается каноническое уравнения прямой: . А теперь просто умножим на . Получается .

Замечание. Уравнение касательной можно запомнить в виде причём, так запомнить легче.

Задача 239-А. Найти касательную к графику в точке .

Решение. , , . Уравнение , то есть .

Ответ. .

Задача 239-Б. Найти дифференциал функции в точке .

Решение. , , .

Дифференциал: .

Приближённые вычисления (1,1)^2 = 1,21 с пом dx 1,2

Задача 240. Найти касательную к графику в точке .

Решение. , , .

Ответ. Уравнение касательной .

Задача 241. Найти касательную к графику в точке с абсциссой 2 и расстояние от этой прямой до начала координат.

Решение. , , .

Подставим эту информацию в уравнение .

Получается .

Надо применить формулу расстояния от точки до прямой в плоскости:

для этого сначала преобразуем к неявному виду: .

Тогда видно, что . .

= = .

Ответ. Касательная , расстояние .

Задача 242. На графике функции взята точка . Касательная к графику в точке наклонена к оси под углом, тангенс которого равен 4. Найти точку и уравнение касательной в этой точке.

Решение. Производная в некоторой точке равна 4. Если , то , тогда .

Общий вид уравнения касательной: .

Тогда в данном случае: .

Ответ. Точка , касательная .

Задача 243. Найти точки на графике , такие, что касательные, проведённые в них, проходят через начало координат.

Решение. Построим уравнение касательной при произвольной абсциссе. Пусть абсцисса . Тогда , . Уравнение касательной . Преобразуем его. . Чтобы не было константы, должно быть , т.е. или . Высота графика при обоих этих значениях одинакова, и равна 8. Тогда точки: и . Ответ. и .

Задача дом. 243-Б Аналогично 243, для точки (1,1). – дом. задание.

Задача дом. Найти уравнение касательной к кривой в точке . Ответ. .

Задача дом. Найти уравнение касательной для в точке . Ответ. .

Практика 23.

Задача 244. Найти касательные к графику в точках с абсциссами 1 и 2, и точку пересечения этих касательных.

Решение. Во-первых, .

Ищем касательную в 1-й точке.

, . Тогда , что приводит к

Ищем касательную во 2-й точке.

, . Тогда , что приводит к .

Решаем систему уравнений, ищем пересечение этих прямых:

Вычтем из 2-го 1-е. Тогда .

Ответ. , , точка .

Задача 245. Найти предел .

Решение. Метод разложения на множители, при степени 3 и выше, более трудоёмкий Сначала поделить каждый многочлен на , останутся многочлены 2-й степени, корни которых можно найти через дискриминант. Будет множитель вида .

По методу Лопиталя: применять можно, условия теоремы выполнены, так как конечное число корней и они изолированы, то есть существует окрестность, в которой нет других корней знаменателя.

= .