Задачи со следствиями из 1 и 2 зам. пределов.

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика

Курс практических занятий

Семестр 1

Группы 520, 530

Томск

ТУСУР

2020

В связи с переполнением файла и невозможностью обработки больших файлов редактором Word, материалы практики после № 18 идут отдельным файлом.

Таблица соответствия недель, задач и номеров практик.

Неделя	520	Задачи	530	Задачи
с 14 сент.	1 17.09 2 18.09	1-13 14-20	1 19.09 2 19.09	1-13 14-20
с 21 сент	3 23.09 4 25.09	21-28 29-35	3 23.09 4 25.09	21-28 29-35
с 28 сент	5 1.10 6 2.10	36-46 47-57	5 3.10 6 3.10	36-46 47-57
с 5 окт	7 7.10 8 9.10	58-66 67-76	7 7.10 8 9.10	58-66 67-76
с 12 окт	9 15.10 10 16.10	77-89 90-99	9 17.10 10 17.10	77-89 90-99
с 19 окт	11 21.10 12 23.10	100-108 109-115	11 21.10 12 23.10	100-108 109-115
с 26 окт	13 29.10 14 30.10	116-133 134-142	13 31.10 14 31.10	116-133 134-142
с 2 нояб	- (4.11) 15 6.11	- 143-152	15 5.11 16 6.11	143-152 153-160
с 9 нояб	16 9.11 17 11.11	153-160 161-170	17 9.11 18 13.11	161-170 171-180
с 16 нояб	18 18.11 19 20.11	171-180 181-196	19 19.11 20 20.11	181-196 197-210
с 23 нояб	20 23.11* 21 25.11*	197-210 211-224	21 23.11* 22 27.11*	211-224 225-243
с 30 нояб	22 2.12* 23 4.12*	225-243	23 3.12* 24 4.12*
с 7 дек	24 7.12* 25 9.12*		25 7.12* 26 11.12*
с 14 дек	26 16.12* 27 18.12*		27 17.12* 28 18.12*
с 21 дек	28 21.12* 29 23.12*		29 21.12* 30 25.12*

Практика 19. Предел функции.

Сначала рассмотрим примеры, где . Методы решения для последовательности ( ) и для функции при во многом очень похожи: для последовательности величина дискретно увеличивается, для функции - непрерывно, но всё равно и там, и здесь неограниченное возрастание.

Задача 181. Найти предел .

Решение. Так как переменная неограниченно возрастает, то тоже влияют её старшие степени и коэффициенты перед ними.

Сократим дробь: = = = = .

Ответ. .

Задача 182. Найти предел .

Решение. Аналогично тому, как в прошлом примере, сократим на старшую степень, здесь это .

= = = = .

Ответ. .

Задача 183. Найти предел .

Решение. В этом примере надо домножить и поделить на «сопряжённое» то есть на сумму, чтобы использовать формулу .

= = теперь сократим на :

В знаменателе можно представить в виде , чтобы упростить выражение в знаменателе:

= = = = . Ответ. .

Задача 184. Найти предел .

Решение. Заметим, что , то есть указанная сумма, фактически, есть разность. Домножаем на сопряжённое выражение, которое формально будет разностью, а на самом деле - суммой:

= =

= . Здесь в знаменателе разность, но 2-я величина отрицательна, то есть фактически - сумма бесконечно-больших. Тогда получается, что дробь - величина, обратная к бесконечно-большой, т.е. бесконечно-малая. .

Ответ. 0.

Задача 185(А,Б).Найти пределы , .

Решение. Сейчас на этом примере мы увидим, как может отличаться ответ в зависимости от или . И в том, и в другом случае мы стараемся сократить дробь на множитель .

Если положительно, то можно представить в виде .

= = = = .

А вот если отрицательно, то надо учесть, что это , оно положительно, то есть при верно . Поэтому

= = = .

Ответы. 4 и .

Примеры, в которых .

Задача 186. Найти предел .

Решение. В этом случае стремится к числу, а не бесконечности. Получается неопределённость совсем другого типа: если в прошлых примерах было или , то здесь . Если просто подставить 1 в это выражение, получилось бы . Поэтому и нельзя просто подставить и вычислить значение, а нужно раскрывать неопределённость. Выделим множитель и в числителе, и в знаменателе, чтобы его сократить.

= = = 2.

Когда сократили, тогда уже можно просто подставить .

Ответ. 2.

Задача 187. Найти предел .

Решение. Найдём корни многочленов в числителе и знаменателе, и разложим на множители. =

= = . Сократили тот множитель, который отвечает за стремление к нулю, в числителе и знаменателе.

Ответ. .

Задача 188. Найти предел .

Решение. Разложим на множители, как и в прошлой задаче.

= = = .

Нашли корни числителя и знаменателя, разложили на множители. Сократили тот множитель, который отвечает за стремление к нулю, в числителе и знаменателе.

Ответ. .

Задача 189. Найти предел .

Решение. Во-первых, если просто подставить , видно неопределённость . Это означает, что является корнем, т.е. по крайней мере, хотя бы один множитель вида и в числителе, и в знаменателе найдётся. Это облегчает поиск корней, можно обойтись даже без дискриминанта, а просто найти второй дополняющий. Когда мы сократим все , можно будет просто подставить в оставшееся выражение.

= = = = = .

Ответ. .

Задача 190. Найти предел .

Решение. Способ 1. Тот факт, что при подстановке и в числителе, и в знаменателе даёт значение 0, говорит о том, что множитель присутствует хотя бы один раз. Поэтому найти корни можно даже без дискриминанта.

= = = = = .

Способ 2. (Лопиталя).

= = = = = .

Ответ. .

Задача 191. Найти предел .

Решение. Способ 1.

= = = = .

Способ 2. = = = = . Ответ. .

Задача 192. Найти предел .

Решение. Воспользуемся формулой разности кубов:

= = = 27.

Впрочем, можно сделать и методом Лопиталя:

= = = 27.

Ответ. 27.

Задача 193. Найти предел .

Решение. = = = = = 2.

Ответ. 2.

Задача 194 (А,Б). Найти и .

Решение. Сразу вынесем за скобку общий множитель и в числителе, и в знаменателе, там все остальные коэффициенты ему кратны. Затем разложим на множители.

= = =

= = .

А при другой тип неопределённости, и применяется совершенно другой метод решения, несмотря на то, что функция та же самая.

= = = .

Ответы. и .

Замечание. Оба этих предела можно было найти по правилу Лопиталя.

= = = .

Задача 195. Найти предел .

Решение. Домножим и разделим на сопряжённое к каждой разности.

При этом соединим дугой те, которые в итоге сворачиваются в разность квадратов. Прочие множители, которые ни с чем не объединяются, вынесем в отдельную дробь, и даже в отдельный предел. Получается произведение пределов:

В одном из них нет неопределённости, а во втором преобразуем так, чтобы сократить скобку .

= = = = .

Ответ. .

Задача 196. Найти предел .

Решение. В этом случае можно с помощью замены преобразовать так, что будут только целые степени, а для получившихся многочленов уже можно искать корни и проводить разложение на множители.

НОК(2,3) = 6. Если обозначим , то:

, .

При этом, если , то и тоже стремится к 1.

* Такое совпадение при замене переменной бывает далеко не всегда, а лишь в частных случаях, а обычно надо пересчитать, возможно новая переменная стремится к другому числу. Например, если и , то .

Итак, = = (для удобства сделали, чтобы многочлены начинались со старшей степени). Далее,

= = = .

При этом даже нет необходимости делать обратную замену и возвращаться к старой переменной.

Ответ. .

Практика 20. 1-й, 2-й замеч. пределы и их следствия.

«1-й замечательный предел».

Вспомнить теорию:

Следствия из 1-го замечательного предела:

Задача 197. Найти предел .

Решение. С помощью преобразований получим в знаменателе такое же выражение, как под знаком синуса в числителе.

= = = = .

Второй предел вообще не содержит неопределённости, а первый это в точности если переобозначить .

Ответ. .

Задача 198. Найти предел .

Решение. = = = 5.

Ответ. 5.

Задача 199. Найти предел .

Решение. = =

= =

= 24.

Сначала домножили на сопряжённое выражение, потом вынесли в отдельный множитель ту часть, где нет неопределённости. В конце домножили на 6 в знаменателе и числителе, чтобы в знаменателе образовалось ровно такое же выражение, как под знаком синуса, то есть .

Ответ. 24.

Задача 200. Найти предел .

Решение. Эту задачу можно решить с применением тригонометрических формул.

Способ 1. По формуле . Получается

= = = 2.

Способ 2. = = = 2.

Ответ. 2.

Задача 201. Найти предел .

Решение. = = =

= (замена ) =

= .

Ответ. 3.

«2-й замечательный предел».

Вспомнить формулы:

Следствия из 2-го замечательного предела.

, .

Эквивалентности бесконечно малых, следующие из 2 зам. lim

Задача 202. Найти предел .

Решение. Здесь целая часть 1 выделена в явном виде. Остаётся только домножить и найти предел в степени.

= =

= = = = = .

Ответ. .

Задача 203. Найти предел .

Решение. = =

= = = .

Ответ. .

Задача 204. Найти предел .

Решение. Здесь неопределённость . Основание стремится к 1, так как здесь одинаковые старшие степени многочленов в числителе и знаменателе, и одинаковые коэффициенты при них. Отделим от дроби её целую часть, то есть 1.

= = = .

Слагаемое, которое следует после 1, стремится к 0, что и должно быть для 2 замечательного предела. Далее,

= =

= = = . Ответ. .

Задача 205. Найти предел .

Решение. Здесь сначала заметим, что основание стремится к 7/7 = 1. А степень к бесконечности. То есть, неопределённость типа и можно использовать 2-й замечательный предел. Сначала выделяем целую часть дроби, то есть 1. Прибавим и отнимем 1, но ту, которую отняли, представим в таком виде, чтобы она объединилась с дробью.

= = =

= теперь после 1 следует бесокнечно-малая, которая обращается в 0 при , ведь там числитель . Далее, в степени домножаем обратную к этой дроби, но при этом и её саму тоже, чтобы ничего не изменилось.

= =

использовали тот факт, что .

Далее, получаем =

= = .

Ответ. .

Задача 206. Найти предел .

Решение. Заметим, что основание стремится к 1, неопределённость типа , можно использовать 2-й замечательный предел.

= = =

= = = =

= = .

Ответ. .

Задача 207. Найти предел .

Решение. = = = =

= =

= = .

Ответ. .

Замечание. Некоторые особенности вычислений, в которых не требуется второй замечательный предел. Если основание стремится не к 1, а к числу a<1 а степень к бесконечности, то можно сразу сделать вывод, что предел 0. Если a>1 то наоборот, .

, .

Если основание и показатель стремятся к соответственно, то 2-й зам. предел не требуется, а ответ .

Задачи со следствиями из 1 и 2 зам. пределов.

Задача 208. Найти предел .

Решение. Применяя эквивалентность бесконечно-малых,

= = = .

4х 5x

5x Sin(5x)

Ответ. .

Задача 209. Найти предел .

Решение. = =

= . Введём замену

Тогда = (с помощью эквивалентных) или

= = (с помощью метода Лопиталя).

Ответ. 1.

Замечание. Почему выражение мы здесь не домножаем на сопряжённое, а делали методом Лопиталя. Тогда получилось бы = , то есть в таких выражениях, в отличие от иррациональностей, формулу сокращённого умножения и структуру применять бесполезно, потому что это даёт точно такое же выражение, стремящееся к .

Задача 210. Найти предел

Решение. Способ 1. С помощью замены на эквивалентную бесконечно-малую. Можно выделить 1 под знаком логарифма, получить выражение типа . Затем воспользоваться эквивалентностью