Главная часть бесконечно-малой.
Определение. Если 
то функция 
называется ГЛАВНОЙ ЧАСТЬЮ бесконечно-малой 
.
Фактически, это степенная функция, эквивалентная данной 
. Если найти коэффициент 
и степень 
, то мы найдём такую степенную функцию, график которой наилучшим образом (среди всех степенных) похож на график функции в окрестности точки.
Задача 211. Найти главную часть бесконечно-малой 
в точке 0.
Решение. Так как точка 0, то 
, то есть главная часть имеет вид 
. Запишем отношение данной бесконечно-малой и «эталонной» степенной. Нужно потребовать, чтобы этот предел был 1, ведь мы ищем именно эквивалентную бесконечно-малую.
. Преобразуем выражение с целью его упростить. Домножим и поделим на 
, этим мы фактически можем заменить 
на . Параметры C и k пока просто переписываем, не меняя их в процессе преобразований.
= 
.
Полное сокращение всех 
будет лишь в случае k=3, а иначе предел 0 или 
, и не будет равен 1.
, тогда С = 1. Итак, 
= 
.
Ответ. 
.
Изображены графики бесконечно-малой и её главной части:
как видно, вблизи (0,0) они практически неотличимы.
Задачи на поиск главной части по методам и сложности похожи на вычисление lim, но фактически это обратная задача: при вычислении предела внутри нет параметров, а предел неизвестен, здесь же наоборот, известно, что предел равен 1, но внутри выражения неизвестные параметры C, k, которые надо найти, так, чтобы предел был равен 1.
Непрерывность и точки разрыва.
Определение. 
называется правосторонним пределом функции 
в точке 
, если: 
, так, что при 
выполняется: 
.
Обозначается 
.
Аналогично, 
называется левосторонним пределом функции 
в точке , если: 
, так, что при 
выполняется: .
Обозначается 
.
Определение. Функция называется непрерывной в точке 
, если в этой точке определено значение 
, и оно совпадает как с правосторонним так и с левосторонним пределами:
.
Если это не выполняется, точка называется точкой разрыва.
Типы точек разрыва.
| Название | Устранимый | Разрыв 1 рода | Разрыв 2 рода |
| Определение | 
| 
 ,  .
| Один или оба 1-ст lim равны  или не сущ.
|
| Примеры | 
| 
| 
|
Примеры 
точка разрыва 
точки разрыва 2 и 3.
. Предел слева равен 0, справа 
. График:
Задача 212. Найти точку разрыва и охарактеризовать её тип: 
.
Решение. Здесь при любом 
верно 
, а при любом 
верно 
. В точке 0 односторонние пределы различны.
Ответ. Разрыв 1 рода
Задача 213. Охарактеризовать тип точки 
, если .
Решение. Односторонние пределы для этой функции таковы:
= 
= 
, т.к. если 
и при этом 
то 
.
= 
= 
, т.к. если 
и при этом то 
.
Ответ. Разрыв 1 рода.
Задача 214. Исследовать тип разрыва 
для 
.
Решение. И при 
, и при 
здесь 
, а тогда 
. Тогда для обоих односторонних пределов получается одинаково: 
. Тогда разрыв устранимый.
К тому же функция чётная, и так ясно, что с двух сторон симметричные ветви графика. Так что достаточно было вычислить только с одной стороны. Ответ. устранимый разрыв.
Примечание. График этой функции:
Задача 215. Найти точки разрыва и определить их тип 
.
Решение. Вычислить значение функции обычным путём здесь нельзя лишь в точках 
где знаменатель обращается в 0. Эти две точки подозрительные на существование разрыва, мы и будем исследовать.
Во-первых, можно представить так: 
.
Надо найти оба односторонних предела в каждой из точек.
Рассмотрим 
.
Для предела справа, 
и модуль раскрывается без лишнего знака:
= 
= 
= 
.
Для предела слева, 
, и при раскрытии модуля знак минус:
= 
= 
= 
.
Получились разные константы. Значит, разрыв 1-го рода.
Рассмотрим 
.
Здесь 
и 
раскрываются одинаково, и равны 2 и 
. А отличие в том, какого знака бесконечно-малая 
в знаменателе.
= 
= 
= 
.
= 
= 
= 
.
Хотя бы с одной стороны предел или не существует, значит разрыв 2-го рода.
Ответ. разыв 2 рода, 
разрыв 1 рода.
Чертёж к этой задаче. Синим цветом показан график этой функции, жёлтым - вертикальная асимптота, где разрыв 2-го рода.
Задача 216. Исследовать тип точки разрыва 
для 
.
Решение. Ищем односторонние пределы вокруг 0, но при этом каждый раз домножаем и делим на 
, так чтобы избавиться от синуса в выражении.
= 
= 
= 
= 1.
= 
= 
= 
= 
.
Здесь знак модуля раскрывается по-разному в зависимости от того, справа или слева от 0 мы находимся. Это либо 
либо 
. Получились различные числа. Разрыв 1-го рода.
Ответ. 
разрыв 1 рода.
Примечание. Вот график этой функции:
Задача 217. Выяснить тип точки для 
.
Решение. Левосторонний предел здесь должен вычисляться с помощью первой ветви функции, а правосторонний с помощью второй. 
= 0. 
= 0. Кроме того, 
.
Значение функции существует и равно как левостороннему пределу, так и правостороннему. 0 это точка непрерывности.
Ответ. точка непрерывности.
График этой функции:
Задача 218. Найти точки разрыва и определить их тип для функции: 
.
Решение. Сначала ищем точки, подозрительные на разрыв, то есть где возможен разрыв. Во-первых, это точка стыковки двух ветвей графика, то есть . Там надо предел слева искать с помощью одной функции, а справа - с помощью другой. Кроме того, 
и 
. Точка 
не должна рассматриваться, т.к. правее 1 уже действует другая ветвь функции.
Рассмотрим 
:
, 
. Кроме того, значение в точке 1 тоже существует и равно 
.
Тогда точка непрерывности.
Рассмотрим 
:
. 
. 
разрыв 2-го рода.
Рассмотрим 
.
, 
.
разрыв 1-го рода.
Ответ. разрыв 2 рода, точка непрерывности,
разрыв 1 рода.
На графике синим цветом показана левая ветвь функции, зелёным - правая, жёлтым - асимптота (она там, где разрыв 2 рода). График этой функции:
Асимптоты.
Если 
то 
.
Горизонтальные: Если 
, 
, то асимптота горизонтальная, эта ситуация имеет место, когда 
.
Пример. 
две односторонние горизонтальные асимптоты: 
и 
.
Вертикальные: Если 
, 
, то асимптота вертикальная (это соответствует разрыву 2 рода, 
).
Наклонные асимптоты.
Задача 219. Вывод формул 
и 
.
Так как точка на графике и на асимптоте сближаются то:
.
Отсюда следует, что 
, то есть
.
Рассмотрим прямую 
, параллельную асимптоте 
.
Если разность ординат для точки на графике и соответствующей точки на прямой 
стремится к 0, то разность ординат для точки на графике и точки на прямой 
стремится к 
. Отрезок, соответствующий этому расстоянию, отмечен красным на чертеже.
Если две величины, 
и 
, неограниченно возрастают, и при этом разность между ними стремится к 0, то их отношение стремится к 1, то есть 
. Но ведь также очевидно, что 
= 
= 1.
Тогда рассмотрим 
, этот предел равен 1. Однако если сократить в нём 
то 
, а тогда 
.
Итак, мы получили формулы для нахождения 
. На практике сначала надо найти 
, а уже затем 
.
Пример 220. Найти асимптоты графика функции 
.
Решение. Во-первых, сразу видно точку разрыва 2-го рода 
. Есть вертикальная асимптота 
.
Найдём наклонную асимптоту.
(мы просто добавили лишний 
в знаменателе, тем самым поделили на 
).
= 
= 
= 1. Итак, 
.
Обратите внимание: здесь предел одинаково вычисляется при 
и при 
, но бывают примеры, в которых по-разному, то есть на правой и левой полуплоскости могут быть разные асимптоты.
Найдём = 
= 
= 
= 
= 
= 2.
Ответ. Вертикальная x = 2, наклонная y = x + 2.
График выглядит так:
Задача 221. Найти асимптоты графика функции 
.
Решение. Во-первых, знаменатель не обращается в 0, поэтому точек разрыва 2-го рода нет, и нет вертикальных асимптот. Горизонтальных асимптот также нет, т.к. 
, предел не константа С.
Ищем наклонные асимптоты.
= 
= 1.
= 
= 
=
. Асимптота 
. Чертёж:
Ответ. Асимптота .
Задача 222. Найти асимптоты графика функции 
.
Решение. Во-первых, при 
знаменталь обращается в 0, здесь разрыв 2 рода. То есть, вертикальная прямая 
это вертикальная асимптота. Теперь ищем наклонные асимптоты.
= 
= 2. Причём этот результат не зависит от того, предел при 
или 
, ведь обе старшие степени чётные. Нашли 
, т.е. есть наклонная асимптота типа 
. теперь найдём 
.
= 
= 
=
= 
= 
. Итак, 
и опять же, это независимо от или 
. Значит, прямая 
это двусторонняя асимптота.
Ответ. Вертикальная и наклонная 
. График:
Задача 223. Найти асимптоты графика функции 
.
Решение. Область определения: 
. Здесь нет знаменателя, который мог бы обращаться в 0, поэтому вертикальных асимптот нет. Функция не ограниченная при 
, поэтому и горизонтальных асимптот нет, так что ищем только наклонные. Функция чётная, поэтому можем искать только при на правой полуплоскости, а на левой график симметричен, так что если 
будет асимптотой на правой полуплоскости, то
на левой. А вот двусторонняя асимптота здесь никак не могла бы быть, ведь график симметричен относительно вертикальной оси, т.к. функция чётная.
= 
= 
= 1.
= 
= 
здесь умножили на сопряжённое, как в таких пределах делали раньше.
= 
= 
.
Итак, 
, 
, на правой полуплоскости асимптота 
. Тогда из-за симметрии графика чётной функции на левой полуплоскости наклонная асимптота 
.
Ответ. Две односторонние асимптоты и .
График (асимптоты показаны зелёным цветом).
Задача 224. Найти асимптоты графика функции 
.
Решение. Функция не является чётной, поэтому здесь придётся при 
и 
искать пределы каждый отдельно.
= 
= 
= 
.
= 
= 
=
= 
= 
= 0.
Итак, 
, 
, на правой полуплоскости асимптота 
.
На левой полуплоскости:
= 
=
= 
.
= 
= 
= 
= 
но так как 
отрицательно то
. Итак, на левой полуплоскости 
, 
. Здесь не наклонная, а горизонтальная асимптота, 
.
Ответ. На правой полуплоскости наклонная асимптота 
,
на левой горизонтальная асимптота 
.
Задача дом-1. Найти асимптоты графика функции 
.
Ответ. Вертикальные асимптоты 
.
Задача дом-2. Найти асимптоты графика функции 
.
Ответ. Вертикальная: 
. Наклонная: 
.
Практика 22.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
Дифференциал, уравнение касательной. Метод Лопиталя.
= 
Законы дифф. суммы и разности, произведения, частного.
. 
. 
.
Закон дифференцирования композиции, обратной функции.
. 
Задача 225. Вывести формулу 
.
Решение. По определению, 
для этой функции надо записать так: 
преобразуем: 
= 
= 
= 
. Итак, 
.
Задача 226. Доказать, что 
. Решение. 
= 
= 
Так как следующие бесконечно малые эквивалентны: 
то получим, заменяя на эквивалентную: 
= 
.
Задача 227. Доказать, что 
.
Запишем производную по определению.
Но тут есть сдвиг на 
и по u, и по v. Добавим и вычтем такое слагаемое, в котором сдвиг по одной функции есть, а по второй нет:
теперь слагаемых стало 4, но зато их можно сгруппировать по два, и даже разбить на две дроби, так, что дельта прибавляется только на одном из мест.
Теперь можно вынести тот множитель, который одинаков в каждой разности:
Видно, то, что осталось в дробях, это и есть производные для u или v соответственно, т.е. в итоге:
. Итак, 
.
Задача 227-Б. Вывести формулу 
.
Решение. Объединим первые 2 слагаемых в один условный множитель, а третье пусть будет вторым множителем. После этого применим известную формулу, доказанную для 2 множителей.
= 
, что и приводит к
выражению 
.
Задача 228. С помощью определения доказать, что 
.
Решение. 
= 
=
=
воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени 
:
=
= 
=
= 
= 
.
Ответ. 
.
Задача 229. Вычислить производную от композиций:
А) 
. Б) 
Решение. А) 
= 
= 
.
Б) 
= 
= 
.
Ответы. 
; .
Задача 230. Найти производную от 
.
Решение. Здесь композиция трёх функций. Сначала действует степенная и переводит 
в 
, затем вычисляется косинус, а от этого выражения зависит логарифм.
= 
= 
= 
, что можно записать в виде 
.
Ответ. 
.
Задача 231. Найти производную функции 
.
Решение. Способ 1. Можно рассматривать как композицию, тогда:
= 
= 
= 
= 
.
Способ 2. Можно рассматривать сразу как степенную функцию с дробной степенью, тогда решение такое: 
= 
.
Как мы видим, двумя способами получаем одно и то же.
Ответ. 
.
Задача 232. Найти 1 и 2 производную от 
.
Решение. 
= 
=
= 
, что можно записать в виде 
.
Вторая производная: 
= 
= 
.
Ответ. 
.
Задача 233. Найти производную от 
.
Решение. Здесь нельзя применять формулу степенной функции, ведь в показателе тоже есть переменная. Но нельзя и формулу показательной функции, т.к. в основании тоже есть переменная. Единственным выходом здесь является логарифмирование, чтобы осталось только в степени. Основание может быть представлено в виде 
. Тогда 
= 
= 
.
= 
= 
=
а теперь можем заменить обратно 
на 
.
После приведения подобных, получим 
.
Ответ. 
.
Задача 234. Найти 1-ю и 2-ю производную для 
. Найти 
.
Решение. 
= 
=
= 
=
= 
=
= 
= 
= 
=
. Итак, 
.
Следующая, 2-я производная:
= 
= 
=
= 
.
Вычислим «тестовое» значение при конкретном 
.
= 
= 
= 
= 2.
Ответ. 
, 
, =2.
Задача домашняя. Найти 1-ю и 2-ю производную для 
.
Ответ. 
- - - Перерыв - - -
Задача 235. Найти 1-ю и 2-ю производную 
и 
.
Решение. 
= 
.
= 
=
= 
=
= 
. 
.
Ответ. 
, 
, 
.
Задача 236. Дана функция 
.
Найти 
, 
.
Решение. 
= 
=
= 
= 
=
= 
= 
.
Максимально возможно привели подобные, чтобы затем было легче считать 2-ю производную.
= 
= 
=
= 
= 
.
Вычислим 
. 
= 
= 
= 48.
Ответ. 
. 
.
Задача 237. Нарисовать график 
, если функция 
задана графически:
Решение. Здесь мы можем рассуждать следующим образом. Запишем функцию на каждом из участков:
Тогда можно найти производную на каждом участке отдельно:
Тогда график производной выглядит так:
Функция называется дифференцируемой в точке 
, если приращение можно представить в виде:
где 
- бесконечно малая более высокого порядка, чем 1-й.
Главная линейная часть приращения функции, а именно 
, называется дифференциалом функции 
в точке 
.
Обозначается также через 
.
(Вспомнить: главная часть бесконечно-малой).
Примечание. Бывают не дифференцируемые функции, например 
не дифф. в нуле. Нет общей касательной для двух частей графика, правой и левой. Какую бы прямую мы ни провели через (0,0), она не будет касательной к графику функции. Если наклон +450 то есть 
то разность между ней и левой половиной графика не будет бесконечно-малой: эта прямая является касательной к одной части графика, то она перпендикулярна другой ветви этого же графика.
Уравнение касательной. 
.
В этом уравнении, 
= это фактически и есть дифференциал.
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 542; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!