Теорема 2. (Необходимое условие возрастания функции)

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Если функция f(x) непрерывна и возрастает на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b), то (x) ³ 0 для любого x из интервала (a, b).

Пример . Исследовать на монотонность (т.е. возрастание и убывание) функцию:

f (x) = x³ – 3x.

Решение. (x) = 3x²– 3 = 3(x² – 1).

Неравенство (x) > 0, т.е. 3(x²– 1) > 0, справедливо для x < –1 и для x >1. Следовательно, функция f(x) возрастает на интервалах (–¥, –1) и (1, +¥). Поскольку неравенство (x) < 0, т.е. 3(x²– 1) < 0 справедливо для xÎ(–1, 1), то на интервале (–1, 1) функция f(x) убывает.

Построим график функции y = x³– 3x (рис. 4), используя ее значения в точках:

x₁ = –1, x₂ = 1, x₃ = 0, x₄ = – , x₅ = : f(–1) = 2, f(1) = –2, f(0) = 0, f(– ) = 0, f( ) = 0.

Заметим, что в точке x₁ = –1 значение f (–1) больше, чем значение f(x) в соседних с x₁ точках. Говорят, что в точке x₁ функция имеет максимум (локальный максимум). Аналогично, f(x₂) < f(x) для x, близких к x₂. В этом случае говорят, что в точках x₂ функция имеет минимум (локальный минимум).

Экстремумы функции

Пусть функция f(x) определена на промежутке X и x₀Î X.

Говорят, что в точке x₀ функция f(x) имеет максимум, если существует такая окрестность точки x₀, что для любого x из этой окрестности f(x) < f(x₀).

Точка x₀ называется точкой минимума, если существует такая окрестность точки x₀, что для любого x из этой окрестности f(x) > f(x₀).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Замечание. Точки экстремума всегда являются внутренними точками промежутка, т.е. не могут быть его концом.

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума)

Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀ и некоторой ее окрестности и
x₀ – точка экстремума, то (x₀) = 0.

Следствие. Если x₀ – точка экстремума, то (x₀) = 0 или (x₀) не существует.

В качестве примера приведем функцию f(x) = |x| (рис. 5).

Очевидно, что x₀= 0 является точкой минимума, так как |0| < |x| для любого x ¹ 0. А в точке x₀= 0 производной f'(0) не существует.

Если f'(x₀) = 0 или f'(x₀) не существует, то точку x₀ будем называть критической (или подозрительной на экстремум). Критическая точка может и не быть точкой экстремума.

Теорема 2. (Первое достаточное условие экстремума)

Пусть функция f (x) определена и непрерывна в точке x₀ и некоторой ее окрестности, дифференцируема в этой окрестности, за исключением, может быть, точки x₀, и x₀ – критическая точка для функции f (x) (т.е. (x₀) = 0 или (x₀) не существует). Тогда: 1) если при x < x₀ производная (x) > 0, а для x > x₀: (x) < 0, то x₀ – точка максимума; 2) если при x < x₀: (x) < 0, а при x > x₀: (x) > 0, то x₀ – точка минимума.

Теорема 3. (Второе достаточное условие экстремума).

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема в точке x₀ и некоторой ее окрестности и пусть (x₀) = 0. Если (x₀) > 0, то x₀ – точка минимума. Если (x₀) < 0, то x₀ – точка максимума.

При исследовании функции на монотонность и экстремумы бывает удобно результаты заносить в таблицу. Как это делается, покажем в следующем примере.

Пример 1. Исследовать на монотонность и экстремумы функцию f(x) = x²e^–x. Построить ее график.

Решение. Эта функция определена и непрерывна на всей числовой оси (–¥, ¥). Найдем производную: (x) = 2xe ^–x– x²e ^–x= xe ^–x(2 – x). Тогда (x) = 0 при x₁ = 0 и
x₂= 2, где x1, x₂– критические точки. Эти точки разбивают всю числовую ось на три интервала: (–¥; 0), (0; 2), (2; +¥). Составим таблицу, в первой строке которой поместим указанные точки и интервалы, во второй строчке – сведения о производной (x) в точках и на интервалах, а в третьей – поведение данной функции f(x):

x		x₁ = 0	(0, 2)	x₂ = 0
(x)	(x) < 0	0	(x) > 0	0	(x) < 0
f(x)	убывает		возрастает		убывает

Определим знак (x) на каждом из интервалов: если xÎ(–¥, 0), то (x) < 0; если xÎ(0, 2), то (x)>0; если xÎ(2, +¥), то (x) < 0. Отсюда определяется поведение функции f(x): на первом и последнем интервалах f(x) убывает, а на втором – возрастает. Отсюда следует, что x₁ = 0 является точкой минимума, y_мин(0) = 0, а x₂= 2 – точка максимума, y_макс(2) = » 0,54. Для построения графика заметим, что f (x) > 0 для всех x, отличных от нуля, и