Задания для самостоятельного выполнения

Стр 1 из 7Следующая ⇒

Факультет прикладной информатики

Кафедра компьютерных технологий и систем

Контрольные работы

по математическим и
логическим основам
информатики

для студентов-бакалавров

заочного факультета прикладной информатики

Краснодар

2018

Глава 1. Математические основы информатики

Тема 1. Позиционные традиционные системы счисления

Перевод чисел из недесятичных систем счисления в десятичную

Система счисления называется позиционной, если значение каждого знака определяется ее местом (позицией) в числе. Позиционную систему счисления называют традиционной, если ее базис[1] образуют члены геометрической прогрессии, а значения знаков есть целые неотрицательные числа. Например, базисы двоичной ( D ₂ ), восьмеричной ( D ₈ ), шестнадцатеричной ( D ₁₆ ) и десятичной ( D ₁₀ ) систем счисления образуют геометрические прогрессии со знаменателями (Р): 2, 8, 16 и 10 соответственно.

Знаменатель Р геометрической прогрессии, члены которой образуют базис традиционной системы счисления, называется основанием этой системы счисления.

Традиционные системы счисления с основанием Р называют Р-ичными. Базис Р-ичных систем совпадает с алфавитом[2], а размерность алфавита равна основанию системы счисления.

Существуют две формы записи чисел в Р-ичных системах:

- в свернутой форме в виде последовательности знаков
D = x_n _-1 x_n _-2 … x ₂ x ₁ x ₀ x _-1 x _-2 … x _- _m из базиса системы счисления:

- в развернутой форме (полиномиальное представление):

D = x_n _-1 · Р ⁿ ^-1 + x_n _-2 · Р ⁿ ^-2 + … + x ₁ · Р¹ + x ₀ · Р⁰ + x _-1 · Р^-1 + … + x _- _m · Р^- ^m

где Р – основание системы счисления,

x_i – символ базиса данной системы счисления,
n - число разрядов целой части числа,
m - число разрядов дробной части числа.

Правило : для перевода чисел из недесятичных систем счисления в десятичную, необходимо представить число в развернутой форме, заменить во всех слагаемых символы базиса системы и само основание их десятичными эквивалентами и вычислить сумму значений всех слагаемых. Все вычисления выполняются по правилам умножения, сложения и деления в десятичной системе счисления.

Примеры выполнения заданий

1. Переведите числа в десятичную систему счисления:

101,11₂ = 1× 2⁰ + 0× 2¹ + 0× 2² + 1× 2^-1 + 1× 2^-2 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,75₁₀

А,С4₁₆ = 10 × 16⁰ + 12 × 16^-1 + 4 × 16^-2 = 10 + 0,75 + 0,0156 = 10,7656₁₀

0,342₆ = 0 × 6⁰ + 3 × 6^-1 + 4 × 6^-2 + 2 × 6^-3 = 0,5 +0,1 + 0,009 = 0,609₁₀

2. Определите систему счисления, в которой произведены следующие вычисления: 98 + 89 = 121

Решение: пусть x - основание искомой системы счисления, тогда:

98 _x = 8 × x ⁰ + 9 × x ¹ = 8 + 9 x 89 _x = 9 × x ⁰ + 8 × x ¹ = 9 + 8 x

121 _x = 1 × x ⁰ + 2 × x ¹ + 1 × x ² = 1 +2 x + x ²

подставим полученные полиномы в равенство и упростим:

x ² - 15 x - 16 = 0 x ₁ = 16 , x ₂ = -1 т.к. x ₂ < 0 , то x = 16

Ответ: 16-ричная система счисления.

Перевод чисел из десятичной системы счисления
в недесятичные

Правило : для перевода целого числа из десятичной системы счисления в недесятичную систему счисления методом последовательного деления углом необходимо последовательно делить заданное число и целые его части на новое основание системы счисления до тех пор, пока результат не станет меньше основания новой системы счисления. Полученные остатки от деления, представленные цифрами из новой системы счисления, запишите в виде числа, начиная с последнего частного числа.

Правило : для перевода целого числа из десятичной системы счисления в недесятичную систему счисления методом разложения по степеня необходимо каждый раз вычитать из остатка (первый раз из числа) число, равное ближайшей степени нового основания. Выписать новое число путем записи коэффициентов при степенях, заменяя их эквивалентами по таблице 1. У пропущенных степеней коэффициенты равны нулю.

Для перевода дробного числаиз десятичной системы счисления в недесятичную систему счисления необходимо отдельно перевести его целую часть, затем дробную и объединить полученные результаты.

Правило : чтобы перевести дробную часть числа следует последовательно умножать дробную часть числа (или произведений в дальнейшем) на основание новой системы счисления до тех пор, пока не выполнится одно из условий, когда дробная часть произведения:

1) станет равной нулю; 2) будет обнаружен период дроби. Период дроби выписывается в круглых скобках; 3) будет получено требуемое по условию количество разрядов. Запись результата через знак приближения ».

Число записать как целые части произведений сверху вниз, не учитывая ноль целых.

Примеры выполнения заданий

1. Переведите D ₁₀ ® D ₂ , D _{8 ,} D ₁₆ целое число 24 ₁₀ методом последовательного деления углом:

24₁₀ = 11000₂

24₁₀ = 30₈

24₁₀ = 18₁₆

2. Переведите D ₁₀ ® D ₂ , D _{8 ,} D ₁₆ целое число 27 ₁₀ методом разложения по степеням:

27₁₀ = 16 + 8 + 2+1 =1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2¹ +1 × 2⁰ = 11011₂

27₁₀ = 24 + 3 = 3 × 8¹ + 3 × 8⁰ =33₈

27₁₀ = 16 + 11 = 1 × 16¹ + 11 × 16⁰ = 1В₁₆

Числа, большие 9, в шестнадцатеричной системе счисления заменяют буквами в следующем порядке: 10– А, 11– В, 12– С, 13– D, 14– E, 15– F.

3. Переведите D ₁₀ ® D ₂ , D _{8 ,} D ₁₆ дробное число 19,2₁₀

Для перевода целой части воспользуемся методом разложения по степеням: 19₁₀ = 16 + 2 + 1 = 1×2⁴ + 1×2¹ + 1 ×2⁰ = 10011₂

19₁₀ = 16 + 3 = 2 × 8¹ + 3 × 8⁰ = 23₈

19₁₀ = 16 + 3 = 1 × 16¹+3 × 16⁰ = 13₁₆

Дробную часть будем последовательно умножать на новое основание:

0, 2 ´ 2 = 0, 4 ´ 2 = 0, 8 ´ 2 = 1, 6 ´ 2 = 1, 2 ´ 2 = 0, 4 ´ 2 = 19,2₁₀=10011,(0011)₂

0, 2 ´ 8 = 1, 6 ´ 8 = 4, 8 ´ 8 = 6, 4 ´ 8 = 3, 2 ´ 8 = 1, 6 ´ 8 = 19,2₁₀ = 23,(1463)₈

0, 2 ´ 16 = 3, 2 ´ 16 = 3, 2 ´ 16 = 19,2₁₀ = 13,(3)₁₆

Специальные приемы перевода

Правило : при переводе D₂® D₈ двоичную запись числа разделяют по три двоичных разряда (триада) вправо и влево от запятой (в случае необходимости триады можно дополнить незначащими нулями) и заменяют каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой (см. табл.1).

Обратный переход осуществляется также просто: каждую цифру восьмеричной записи заменяют ее двоичным представлением.

Правило : переход D₂® D₁₆, (и обратно) также прост, как D₂® D₈ , только двоичную запись числа разделяют теперь по четыре двоичных разряда (тетрада) вправо и влево от запятой. Тетрады двоичных цифр заменяют на шестнадцатеричную запись.

Таблица 1. Десятичные и двоичные эквиваленты

Десятичный эквивалент	Двоичные эквиваленты
Десятичный эквивалент	D ₈ - D ₂	D ₁₆ - D ₂
0	0 - 000	0 - 0000
1	1 - 001	1 - 0001
2	2 - 010	2 - 0010
3	3 - 011	3 - 0011
4	4 - 100	4 - 0100
5	5 - 101	5 - 0101
6	6 - 110	6 - 0110
7	7 - 111	7 - 0111
8		8 - 1000
9		9 - 1001
10		A - 1010
11		B - 1011
12		C - 1100
13		D - 1101
14		E - 1110
15		F - 1111

Примеры выполнения заданий

1. Переведите D₂® D₈, D₁₆ число:

2. Переведите D₈® D₂, D₁₆ числа:

3. Переведите D₁₆® D₂ число:

Более длительные цепочки преобразований следует выполнить при переводах D₈® D₁₆ и D₁₆® D₈. Для этого необходимо выполнить ряд переводов: в первом случае D₈® D₂, затем D₂® D₁₆; во втором случае D₁₆® D₂, затем D₂® D₈. Возможны переводы и через десятичную систему счисления, но это осуществить гораздо сложнее.

Задания для самостоятельного выполнения

1. Переведите дробные числа в десятичную систему счисления:

0) 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 )

a) 1110,0101₂; a) 1100,1010₂; a) 1011,1111₂; a) 1010,1110₂; a) 1001,1101₂; a) 1011,1001₂; a) 1111,0111₂; a) 1110,1001₂; a) 1010,1101₂; a) 1000,0101₂;

b) 503,25₈; b) 106,34₈; b) 407,45₈; b) 205,12₈; b) 107,72₈; b) 502,24₈; b) 407,36₈; b) 504,75₈; b) 603,32₈; b) 705,24₈;

c) 2B0,5D₁₆; c) 1E7,8E₁₆; c) 4A3,4F₁₆; c) 1F3,7D₁₆; c) 7D8,1A₁₆; c) 8B9,3C₁₆; c) 3C1,1F₁₆; c) 3F0,4B₁₆; c) 5F4,0D₁₆; c) 6B9,2E₁₆;

2 .Переведите дробные десятичные числа в D ₂ , D _{8 ,} D ₁₆ :

0) 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 )

60,4; 29,1; 56,8; 70,2; 35,1; 45,4; 57,8; 36,9; 81,2; 45,6;

3. Переведите восьмеричные числа в D ₂ :

0) 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 )

151; 275; 321; 410; 235; 462; 341; 620; 354; 412 ;

Тема 2. Арифметические операции над числами
в позиционных системах счисления

Выполнение операций сложения и вычитания в позиционных традиционных системах счисления осуществляется по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

Для этого необходимо выполнять некоторые правила:

правило: в записи результатов сложения и вычитания могут быть использованы только цифры алфавита системы счисления;

правило: переполнение разряда наступает, когда результат сложения больше или равен основанию системы. В этом случае для записи результата надо вычесть основание из результата, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения;

правило: если при вычитании приходится занимать единицу в старшем разряде, то эта цена разряда равна основанию системы счисления.

Дата добавления: 2020-04-08; просмотров: 145; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 5 6 7 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!