Вторая интерполяционная формула Ньютона
Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции, применяется вторая интерполяционная формула Ньютона, которая ищется в виде:
Р n (x)=a0 + a1(x – xn) + a2(x – xn)(x – xn-1) + … + an(x – xn)(x – xn-1) ∙…∙ (x – x1) (13)
Как и для первой формулы Ньютона, коэффициенты а0, а1, … ,ап находятся из условия совпадения значений функции и интерполяционного многочлена в узлах ak = 
. Подставив коэффициенты в равенство (13) и перейдя к переменной 
, получим окончательный вид второй интерполяционной формулы Ньютона:
(14)
Погрешность интерполяционных формул Ньютона
Если известно аналитическое выражение интерполируемой функции f ( x ), то можно получить формулу для оценки погрешности интерполирования (погрешности метода). Остаточный член интерполяционного многочлена Р n ( x ) имеет вид: Rn ( x ) = f ( x ) - Р n ( x ).
В силу единственности интерполяционного многочлена можем воспользоваться формулой оценки остаточного члена многочлена Лагранжа:
.
Если узлы интерполирования равноотстоящие, то, введя новую переменную 
, получим формулу оценки погрешности интерполяционных формул Ньютона:
. (15)
Если значение производной неизвестно или слишком громоздко, то пользуются практической оценкой:
, (16)
т.к. при достаточно малом h и в силу непрерывности производных 
.
Экстраполяция
Вычисление значений таблично заданной функции за пределами диапазона значений аргумента, отраженного в таблице, называется экстраполяцией. Будучи, с точки зрения формальной математической теории, ни на чем не основанной, экстраполяция является, тем не менее, очень полезным приемом эмпирического исследования процессов и явлений.
|
|
|
Для экстраполяции функций могут использоваться интерполяционные формулы Ньютона. При этом вычисляются их значения для значений аргументов, лежащих за пределами таблицы. Причем, если х < x 
, то t = (x - x )/h < 0, и в этом случае выгоднее применять первую интерполяционную формулу Ньютона. Если же x > x 
, то t = (х - х 
)/h > 0, и здесь удобнее использовать вторую интерполяционную формулу Ньютона. Таким образом, по первой интерполяционной формуле Ньютона происходит интерполирование вперед и экстраполирование назад, а по второй — интерполирование назад и экстраполирование вперед.
Если таблица значений функции отражает некоторую экспериментально установленную зависимость, то построенная по ней указанным методом аппроксимирующая функция выражает определенную математическую (регрессионную) модель явления. Применимость всякой регрессионной модели ограничена, особенно за пределами экспериментальной области. Всякая экстраполяция держится на гипотезе: «предположим, что за пределами экспериментальной области закономерность сохраняется». Так ли это - всякий раз следует анализировать, причем этот анализ лежит за пределами математики как таковой.
|
|
|
Экстраполяция является одним из вариантов прогнозирования (вероятно, простейшим). Прогнозирование в более общих случаях, когда существующая или предполагаемая зависимость между величинами является не простой функциональной, а вероятностной (например, корреляционной), постоянно применяется при решении реальных задач, носящих порой исключительно важный характер (прогноз мировых цен на различные виды сырья, прогноз масштабов эпидемий и т.п.).
Дата добавления: 2020-11-27; просмотров: 219; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!