Интерполяционные формулы Ньютона
Рассмотрим другой способ построения интерполяционного многочлена. При этом, однако, не следует забывать, что по заданной таблице, содержащей значения функции в п+1 узлах, интерполяционный многочлен п-й степени единственен, и поэтому «новые» интерполяционные многочлены отличаются от построенного по той таблице многочлена Лагранжа лишь внешним видом. Тем не менее, они представляют ценность, поскольку вид (т. е. форма записи) многочлена определяет порядок и объем вычислений, что в численных методах существенно.
Часто интерполирование ведется для функций, заданных таблицами с равноотстоящими значениями аргумента. В этом случае шаг таблицы h = xi -1 – xi (i = 0, 1, 2, …) является величиной постоянной. Для таких таблиц построение интерполяционных формул заметно упрощается.
Конечные разности
Пусть функция f ( x ) задана значениями в равноотстоящих узлах интерполирования, т.е. имеет таблицу с постоянным шагом h .
Узлы интерполирования называются равноотстоящими, если они пронумерованы в порядке возрастания и расстояние между двумя соседними узлами одинаковое h = xi -1 – xi (i = 0, 1, 2, …).
Разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции называются конечными разностями первого порядка:
Δyi = yi +1 – yi (i=0, 1,..., п-1).
Из конечных разностей первого порядка образуются конечные разности второго порядка:
Δ2 yi = Δyi+1 –Δ yi (i=0, 1,..., п -2).
Продолжая этот процесс, можно по заданной таблице функции составить таблицу конечных разностей:
|
|
|
| x0 | y0 | ||||
| Δy0 | |||||
| x1 | y1 | Δ2 y0 | |||
| Δy1 | … | ||||
| x2 | y2 | ||||
| Δn y0 | |||||
| … | … | ||||
| … | |||||
| xn-1 | yn-1 | Δ2 yn-2 | |||
| Δyn-1 | |||||
| xn | yn |
Конечные разности любого порядка могут быть представлены через значения функции. Действительно, для разностей первого порядка это следует из определения:
Δ yi = yi +1 – yi.
Для разностей второго порядка имеем
Δ2 yi = Δyi +1 –Δ yi = (yi +2 – yi +1 ) – ( yi +1 – yi ) = yi +2 – 2 yi +1 + yi .
…
Первая интерполяционная формула Ньютона
Пусть для функции, заданной таблицей с постоянным шагом, составлена таблица конечных разностей.
Будем искать интерполяционный многочлен в виде:
Р n (x) = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)(x - x1) + … + an ( x - x 0 )( x - x 1 ) ∙…∙ ( x - xn -1 ) (10)
Это — многочлен п-й степени. Значения коэффициентов а0, а1, … ,ап найдем из условия совпадения значений исходной функции и многочлена в узлах.
Полагая х = х0, из (10) находим у0 = Pn ( x 0 ) = а0, откуда
а0 = y 0.
Далее, полагая х = х1 получаем у1 = Pn ( x 1 ) = а0 + a 1 ( x 1 - x 0 ), откуда
a 1 = 
.
При х = х2 у2 = Pn ( x 2 ) = а0 + a 1 ( x 2 - x 0 ) + a 2 ( x 2 – x 0 )( x 2 – x 1 ), откуда
|
|
|
а2 = 
…
В общем случае выражение для ak имеет вид:
ak = 
Подставим найденные коэффициенты в выражение для многочлена (10):
(11)
Часто эта формула записывается в несколько ином виде. Введем вместо переменной х новую переменную t: 
, или, напротив, x = x 0 + ht. Тогда 
, 
и т.д.
Тогда формула (11) примет вид:
(12)
Формула (12) называется первой интерполяционной формулой Ньютона.
Эта формула применяется для интерполирования в начале отрезка интерполяции, для значений t в интервале (0; 1)
Дата добавления: 2020-11-27; просмотров: 124; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!