Собственные и примесные полупроводники

Основные формулы.

* Уровень Ферми у собственных полупроводников, отсчитанный от потолка валентной зоны

Е_f = (1/2)DE + (3/4) kT ln(m_v/m_c)

где DЕ - ширина запрещенной зоны, а m_v и m_c - эффективные массы дырки и электрона, находящегося в зоне проводимости.

*Концентрация электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне

n = N_c exp{-(E_пр-E_f)/(kT)} ; р = N_v exp{(E_в-E_f)/(kT)}

где Е_пр - энергия, соответствующая дну зоны проводимости; Е_в - энергия, соответствующая верхней границе валентной зоны; Е_f - энергия Ферми; Т- термодинамическая температура; N_c и N_v - постоянные, зависящие от температуры и эффективных масс электронов проводимости и дырок ( при равенстве последних N_c = N_v).

* Эффективная плотность состояний для дырок валентной зоны и для электронов зоны проводимости соответственно

N_v = 2(2p m_vkT)^3/2 /h³          ;           N_c =2(2p m_ckT)^3/2/h³

 

* Закон действующих масс.

n(T)×p(T) = n_i²(T)

где n_i(T) – концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике

* Вероятность образования дырки на энергетическом уровне в валентной зоне определяется соотношением (из анализа механизма образования дырки)

F_p (E_в) = 1 – F_n(Е_в)

 

Примеры решения задач.

1. Найти положение уровня Ферми в собственном германии при 300 К, если известно, что ширина его запрещенной зоны DE=0,665 эВ, а эффективные массы плотности состояний для дырок валентной зоны и для электронов зоны проводимости соответственно равны: m_v=0,388 m_о ; m_c =0,55 m_о , гдe m_о — масса свободного электрона.                        

Решение

Положение уровня Ферми в собственном полупроводникe определяется выражением

E_f = (E_c +E_v)/2 + (kT/2) ln(N_v/N_c) = E_i + (kT/2) ln(N_v/N_c)

гдеE_{i -} уровень, соответствующий середине запрещенной зоны;

N_v = 2(2p m_vkT)^3/2 /h³ ; N_c =2(2p m_ckT)^3/2/h³

эффективная плотность состояний для дырок валентной зоны и для электронов зоны проводимости соответственно. В данном случае

N_v = 6,4×10²⁴ м^-3;   N_c = 1,02×10²⁵ м^-3

Таким образом

E_f - E_i = - 6,78×10^-3 эВ                            или

E_f - E_v = E_i - E_v + (kT/2) ln(N_v/N_c) = DE/2 + (kT/2) ln(N_v/N_c) = 0,326 эВ,

т. е. уровень Ферми в собственном германии при комнатной температуре расположен на 6,78 мэВ ниже середины запрещенной зоны, но на 326 мэВ выше потолка валентной зоны. Результаты расчета показывают, что с ростом температуры уровень Ферми приближается к той зоне, которая имеет меньшую плотность состояний и поэтому заполняется быстрее.

 

2. Вычислить собственную концентрацию носителей за­ряда в кремнии при T=300 К, если ширина его запрещенной зоны DE =1,12 эВ, а эффективные массы плотности состояний m_v=0,56 m_о ; m_c =1,05 m_о.

Решение

 Собственная концентрация носителей заряда

n_i = Ö( N_v N_c ) ехр { - (DE /2kT)}

Эффективная плотность состояний (м^-3) для электронов в зоне проводимости (см. решение примера 1)

N_c = 2,69 ²⁵ (T/300)^3/2

Эффективная плотность состояний (м^-3) для дырок в валентной зоне

N_v = 1,05 ²⁵ (T/300)^3/2

Отсюда следует, что при T=300 К собственная концентрация n_i » 7×10 ¹⁵ м^-3

 

3. Кристалл арсенида индия легирован серой так, что избыточная концентрация доноров N_д - N_а=10²² м^-3. Можно ли считать, что при температуре T=300°C электрические пара­метры этого полупроводника близки параметрам собственного арсенида индия, если эффективные массы плотности состояний для электронов;m_c=0,023 m_о, для дырок m_v=0,43 m_о , а ширина запрещенной зоны (эВ) InAs изменяется с температурой по за­кону 0,462×3,5×10^-4 T.

Решение

Ширина запрещенной зоны DE арсенида индия при темпе­ратуре T=573 К равна 0,26 эВ. Собственная концентрация но­сителей заряда при этой температуре :

n_i = 2 (2pkT/h²)^3/2 ( m_cm_v)^3/4 exp ( -DE/2kT) = 1,5×10 ²³ м^-3.

Отсюда следует, что при T=573 К собственная концентрация носителей заряда n_i>>( N_д - N_а) , т. е. полупроводник по свойст­вам близок собственному.

 

Электропроводность полупроводников

Основные формулы.

*Удельная проводимость собственных полупроводников

g = en (m_n+m_p)

где е- заряд электрона, n - концентрация носителей заряда (электронов и дырок), m_n и m_p - подвижности электронов и дырок.

 

Примеры решения задач.

1. Вычислить отношение полного тока через полупровод­ник к току, обусловленному дырочной составляющей: а) в соб­ственном германии; б) в германии p-типа с удельным сопротивлением 0,05Ом×м. Принять собственную концентрацию носите­лей заряда при комнатной температуре n_i=2,1×10¹⁹м³, по­движность электронов m_n=0,39м²/В×с),подвижность дырок m_p=0,19 м²/(В×с).

Решение

На основе закона Ома получаем выражение для отношения полного тока к его дырочной составляющей:

b_p = I/Ip = e(nm_n + pm_p)/epm_p = 1 + nm_n/pm_p

где n и р — концентрации электронов и дырок соответственно.

В собственном полупроводнике n_i=р_i и, следовательно,

b_p = 1+ m_n/m_p =1+0,39/0,19 = 3.05.

В полупроводнике p -типа с удельным сопротивлением, много меньшим собственного, вкладом электронов в электропровод­ность в первом приближении можно пренебречь. С учетом это­го получаем концентрацию основных носителей заряда р » (em_pр)-1 = 6,58×10²⁰м³ и концентрацию неосновных носите­лей заряда n = n_i²/p =6,7×10¹⁷м³.

Зная концентрацию электронов, можно уточнить отношение полного тока к дырочной составляющей: b_p = 1,002.

 

2. Образец кремния n-типа при температуре T₁=300K имеет удельное сопротивление r=0,05 0м×м, причем концент­рация электронов в нем не изменяется при нагревании до тем­пературы T₂=500К. Определить, на сколько изменяется кон­центрация неосновных носителей заряда в этом температурном диапазоне. При температуре T₁ подвижность электронов m_n=0,14м²/В×с. Значение собственной концентрации носите­лей заряда взять из задачи 4.9. Коэффициент температур­ного изменения ширины запрещенной зоны Ь=2,84×10^-4эВ/К.

Решение

По заданным значениям r и m_n находим концентрацию ос­новных носителей заряда при температуре T₁:

n = g/em_n = 1/em_nr =8,93×10²⁰м^-з.

Концентрацию неосновных носителей заряда (дырок) опреде­ляем из соотношения “действующих масс”:

p = n_i²/n = 5,5×10¹⁰м^-3.

При температуре Т₂:

Nc=5,79×10²⁵м^-з; N_v=2,26×10²⁵м^-з,

DW₂ = DW₁ - b(T₂- T₁)= 1,063 эВ.

Собственная концентрация носителей заряда при температуре Т₂

n_i = Ö(N_cN_v) exp( -DW/2kT₂) = 1,6×10²⁰м^-3  

Отсюда находим концентрацию неосновных носителей заряда р = 2,87×10¹⁹м^-з.

Таким образом, на участке истощения доноров при повыше­нии температуры от 300 до 500 К концентрация дырок в крем­нии n-типа возрастает в 2,87×10¹⁹/(5,5×10¹⁰) =5,2×10⁸ раз.

 

3. Рассчитать концентрацию электронов и дырок в гер­мании р-типа с удельным сопротивлением 0,05 Ом×м при тем­пературе 300 К. Недостающие данные взять из условия примера 1.

Решение

Удельное сопротивление связано с концентрацией электро­нов и дырок уравнением

1/r = enm_n + epm_p = en_i²m_n/p +epm_p

Для концентрации дырок получаем квадратное уравнение вида

p² - p/em_pr + n_i²m_n/m_р =0

Подставляя исходные данные, имеем p = 6,565×10²⁰м^-3.

Второе решение квадратного уравнения отбрасываем, так как оно соответствует полупроводнику n-типа. Концентрация неос­новных носителей заряда

n = n_i²/p =6,72×10¹⁷м

 

4. Определить, при какой концентрации примесей удельная проводимость германия при температуре 300 К имеет наименьшее значение. Найти отношение собственной удельной проводимости к минимальной при той же температуре. Для решения использовать данные примера 1.

Решение

Минимум удельной проводимости находим из условия dg/dn = 0. Учитывая, что g = enm_n + epm_p = en_i²m_p/n +enm_n, после дифференцирования получим

-en_i²m_p/n² +em_n =0.

Решая это уравнение, находим: n = n_i Ö(m_p/m_n) ; p = n_i Ö(m_n/m_p)

Для германия при 300 К получаем: n=1,47×10¹⁹ м^-3; р = 3,01×10¹⁹ м^-3.

Таким образом, минимальную удельную проводимость име­ет слаболегированный полупроводник р-типа.

Учитывая, что собственная удельная проводимость опреде­ляется уравнением g_i=en(m_n+m_p) находим искомое отношение

 g_i/g_мин = (m_n+m_p)/2Ö(m_nm_p) = 1,065.

 

---

Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 929; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!