Раздел 2 Основные соотношения и примеры решения задач

СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛАХ

Основные формулы.

*Вероятность заполнения состояний (распределение Ферми-Дирака):

*Распределение Ферми по энергиям для свободных электронов в металле:

при Т¹ 0

при Т=0 ( при Е < Е _f)

где dn(Е) - концентрация электронов, энергия которых заключена в интервале значений от Е до Е + dЕ; m и Е - масса и энергия электрона; Е_f - уровень (или энергия) Ферми.

*Уровень Ферми в металле при Т=0

*Температура Т_кр вырождения

Примеры решения задач.

1. Доказать, что средняя энергия свободных электронов в металле вблизи T=0 К составляет 3/5 энергии Ферми.

Решение

При низкой температуре уровень Ферми Е _f характеризует максимальную энергию электронов проводимости в металле. Распределение электронов по энергиям

dn (Е) = Z (Е) f (Е) d Е

где dn (Е)—число электронов, приходящихся на энергетический интервал от Е до Е+ d Е; Z (Е) —плотность состояний в зоне проводимости, т. е. число состояний, приходящихся на единичный интервал энергий; f (Е)—вероятность заполнения квантовых состояний электронами.

В соответствии с распределением Ферми—Дирака для всех состояний с энергией Е < Е _f функция f (Е)=1, а для состояний с энергией Е > Е _f функция f (Е)=0. Для определения средней энергии электронов необходимо суммарную энергию всех электронов, находящихся в единице объема, разделить на их концентрацию n:

Учитывая, что

где m_n—эффективная масса электрона, получаем

2. Рассчитать положение уровня Ферми и суммарную кинетическую энергию свободных электронов в 1 см³ серебра при температуре вблизи абсолютного нуля, полагая, что число свободных электронов равно количеству атомов серебра.

Решение

Концентрация свободных электронов равна концентрации атомов, поэтому n = N _А r /М, где r- плотность материала, N_A - число Авогадро, М - атомный (молекулярный) вес. Отсюда энергия Ферми

= 8,80-10^-19 Дж.=5,5 эВ

Суммарная кинетическая энергия свободных электронов

= 3,08.10⁴ Дж.

3. Определить минимальную длину волны де Бройля для свободных электронов при T» 0К в металле с простой кубической кристаллической решеткой, если на каждый атом кристалла приходится один свободный электрон. Период решетки paвен а.

Решение

В кристалле с простой кубической решеткой на объем каждой элементарной ячейки приходится один атом и соответственно один свободный электрон. Поэтому концентрация свободных электронов определяется по формуле n=a^-3. С учетом этого минимальная длина волны де Бройля

4. Оценить среднее энергетическое расстояние dE между разрешенными энергетическими уровнями зоны проводимости в кристалле серебра объемом V= 1 см³, если энергия Ферми Е_f=5,5 эВ.

Решение

Среднее энергетическое расстояние между разрешенными уровнями dЕ = Е_f /N, где N-число уровней, заполненных электронами. Концентрация электронов связана с энергией Ферми выражением

Все уровни, лежащие ниже уровня Ферми Е _f, практически полностью заполнены электронами, причем согласно принципу Паули на каждом уровне находится два электрона. Отсюда следует, что

dЕ = Е_f /n(V/2) = 3.10^-41 Дж == 1,89.10^-22 эВ.

ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ

Основные формулы.

*Законы Ома и Джоуля в дифференциальной форме имеют вид

j = gE w = gE²

где j- плотность тока; w - объемная плотность тепловой мощности; g - удельная проводимость; Е - напряженность электрического поля.

*Удельная электрическая проводимость

где е и m - заряд и масса электрона; n- концентрация электронов; <L> - средняя длина свободного пробега; v - средняя скорость хаотического движения электронов.

*Закон Видемана-Франца

где l - теплопроводность.

Примеры решения задач.

1. Вычислить длину свободного пробега электронов в меди при T=300K, если ее удельное сопротивление при этой температуре равно 0,017 мкОм/м.

Решение

Согласно представлениям квантовой теории, удельное сопротивление металлов связано с длиной свободного пробега электронов L соотношением

Концентрация свободных электронов в меди n=N_Аd/М, где d— плотность материала, N_A - число Авогадро, М - атомный(молекулярный) вес меди.

n =dN_A/М = 8.45×10²⁸м^-3

Отсюда следует, что длина свободного пробега

L = 3/89×10^-8 м

2. Определить время, в течение которого электрон пройдет расстояние 1 км по медному проводу, если удельное сопротивление меди 0,017 мкОм-м, а разность потенциалов на концах проводника U=220 В. За какое время электрон пролетит это же расстояние, двигаясь без соударений, при той же разности потенциалов? Каково время передачи сигнала?

Решение

Из закона Ома следует, что удельная проводимость g= env/E. Концентрация свободных электронов в меди n =8,45-10²⁸ м^-3 (см. решение примера 1). Тогда средняя скорость дрейфа электронов

= 9,6×10^-4 м/c

Время дрейфа электрона по проводнику t=v/l=10⁶ с. При отсутствии столкновений с узлами решетки электрон движется равноускоренно и время пролета

= 2,26×10^-4c

Передача энергии вдоль проводов линии осуществляется электромагнитным полем, распространяющимся вдоль проводов со скоростью света с. Полагая, что средой, окружающей провод, является воздух, время передачи сигнала

t =l/с= 10³/(3×10⁸)=3,33.10^-6 с.

3. Определить температурный коэффициент линейного расширения a_i и удлинение нихромовой проволоки, если известно, что при повышении температуры от 20 до 1000°С электрическое сопротивление проволоки изменяется от 50 до 56,6 0м. Длина проволоки в холодном состоянии L=50 м. Температурный коэффициент удельного сопротивления нихрома принять равным 15×10^-5 К^-1.

Решение

Температурный коэффициент сопротивления проволоки:

= 1,35×10^-4 К^-1.

Тогда

= l,5×10^-5 K^-1.

Отсюда DL = La_i DT=0,735м.

4. Определить, во сколько раз изменится удельная теплопроводность l_T меди при изменении температуры DT от 20 до 200°С.

Решение

Согласно закону Видемана—Франца, l_T /g = L_oT, где g — удельная проводимость; L_o =2,45-10^-8 В² К^{-2 --}число Лоренца. Отсюда следует, что

= 1,12.

5. Непрерывные экспериментальные наблюдения за током, наведенным в замкнутом контуре из сверхпроводящего материала, показали, что в течение одного года ток уменьшается в результате релаксации системы к равновесному состоянию всего на 0,01%. Принимая концентрацию электронов проводимости n=4×10²⁸ м^-3, оцените удельное сопротивление материала в сверхпроводящем состоянии и сравните его с удельным сопротивлением меди в нормальных условиях.

Решение

В соответствии с кинетическим уравнением Больцмана затухание тока определяется выражением

где t - время релаксации.

Отсюда следует, что

= 10^-4.

Для t=3,15×10⁷с (1 год) t =3,15×10¹¹с.

Удельная проводимость материала связана с временем релаксации соотношением

g = 1/r = e²nt/m = 3.54×10³² Cм/м

Сравнивая удельные сопротивления сверхпроводника и меди ( r_с_u=1,7×10^-8 Ом×м), получаем

r/r_cu = 1,66×10^-25.

Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 4071; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!