Вопросы и упражнения для самостоятельной работы (самоконтроля)

Определение переходного тока по известному операторному току

В задачах электротехники операторные токи представляются в виде рациональных дробей, числители и знаменатели которых являются полиномами комплексной переменной p:

где M ( p ) - полином степени m , N ( p ) - полином степени n; всегда m < n . Чтобы найти соответствующий переходный ток, дробь нужно разложить на сумму простейших дробей:

Здесь А₁,А₂,…, A_n - некоторые постоянные, p ₁ , p ₂ ,…, p_n - корни уравнения N ( p )=0. Полином n-ой степени N ( p ) имеет n корней и может быть представлен в виде N ( p )=( p - p ₁ )( p - p ₂ )…( p - p_n ). Коэффициент при степени pⁿ всегда можно сделать равным единице, разделив числитель и знаменатель дроби на величину возможного неединичного коэффициента при этой степени.

Примечание. При расчете цепей с постоянным ЭДС операторным методом знаменатели операторных токов имеют вид N ( p )= pN ₁ ( p ), где N ₁ ( p )-полином степени n -1,если степень полинома N ( p ) равна n . В этом случае полином N ( p ) имеет корень p ₁ =0, а первому слагаемому в формуле (36) соответствует постоянная составляющая переходного тока.

При расчете цепей с синусоидальными ЭДС знаменатели операторных токов имеют вид N ( p )=( p ² +ω²) N ₂ ( p ), где ω-круговая частота ЭДС, степень полинома N ₂ ( p ) равна n -2, если степень полинома N ( p ) равна n . В этом случае уравнение N ( p )=0 имеет корни p ₁ = jω и p ₂ =- jω , а двум первым слагаемым в формуле (36) соответствует синусоидальная составляющая переходного тока.

Постоянные А₁,А₂,…,А_n в формуле (36) можно найти методом неопределенных коэффициентов, как было показано в примере 1.5. Если степень полинома N(p) больше двух, то рациональнее воспользоваться другим методом для определения этих постоянных, вычислить их с помощью теоремы разложения рациональных дробей.

И 1.29

В разложении рациональной дроби на простейшие дроби

коэффициенты А _k при всех k от 1 до n определяются по формуле

где

Доказательство теоремы. Умножим обе части равенства (37) на

Теперь перейдем к пределу при . В правой части равенства все дроби обращаются в ноль и остается только коэффициент A_k .Значит,

Этот предел приводит к неопределенности вида , так как N ( p_k )=0 ( p_k -корень полинома N ( p )). По правилу Лопиталя получаем, что

В последнем выражении , если полином N ( p ) не имеет кратных корней. Проверим это утверждение на простом примере:

если корни полинома различны, то в пределе при получаем

Таким образом, формула (38) доказана, но только при условии, что знаменатель рациональной дроби N ( p ) не имеет кратных корней.

После того как выражение для операторного тока разложено на простейшие дроби, по правилу 6 преобразования Лапласа находятся экспоненциальные составляющие переходного тока:

Среди корней характеристического уравнения p_k может оказаться пара комплексных сопряженных чисел. Пусть это будут корни p ₁ =-δ+ jω и p ₂ =-δ- jω ; в этом случае коэффициенты и являются комплексными сопряженными числами. Две экспоненты с комплексными сопряженными показателями следует преобразовать в затухающую синусоиду с помощью формулы Эйлера:

Частный пример такого преобразования был рассмотрен в п. 1.6.6.

Примечание. При расчете переходных процессов нередко встречаются особенности, которые требуют особого подхода. При первом знакомстве с теорией переходных процессов уделять внимание всем этим особенностям нецелесообразно. Достаточно, например, иметь ввиду, что при наличии у характеристического уравнения кратных корней формула (38) неверна. Не следует однако впадать в крайность и думать, что изложенные выше основы теории переходных процессов из-за множества исключений не имеют существенного практического значения. На практике при расчете переходных процессов пользуются справочниками, электротехническими или математическими. В них имеются обширные таблицы преобразования Лапласа (прямого и обратного) и отмечены многие особенности его применения.

Вопросы и упражнения для самостоятельной работы (самоконтроля)

1. Запишите разложение операторного тока на простейшие дроби (36) в случае, когда переходный процесс происходит в цепи с источником постоянного напряжения и переходный ток имеет постоянную составляющую.

2. Запишите операторный ток, соответствующий синусоидальному току . Разложите полученное выражение на простейшие дроби. (Указание: см. правила преобразования Лапласа 8 в п. 1.7.2.).

3. Запишите разложение операторного тока на простейшие дроби (36) в случае, когда переходный процесс происходит в цепи с источником синусоидального напряжения и переходный ток имеет синусоидальную составляющую.(Указание: используйте выражение для операторного тока, соответствующего синусоидальному току, и его разложение на простейшие дроби).

4. Выпишите выражение для операторных токов из примера 1.5. Разложите их на простейшие дроби с помощью теоремы разложения (по формуле (38)).

5. Запишите в операторной форме уравнение (11) с начальными условиями (12) и (13) (вместе они описывают разряд конденсатора через катушку). Найдите операторный ток, запишите его выражение в случае когда (точнее, с помощью этой формулы исключите из выражения для операторного тока параметр С). Запишите переходный ток в рассматриваемом случае – формула (24). Сравнивая операторный и переходный токи, убедитесь в соответствии .

Переходная проводимость

Предварительные замечания. В цепях с источниками постоянного или синусоидального напряжения легко разделяются установившиеся и свободные составляющие переходных токов. Обычно установившиеся синусоидальные токи рассчитывают символическим методом, а свободные токи - операторным методом. Расчет переходного процесса усложняется, если в цепи действует переменная несинусоидальная ЭДС. При решении задачи классическим методом возникают затруднения с определением установившихся токов (частного решения дифференциального уравнения). Применение операторного метода наталкивается на расчет изображений сложных функций времени, а затем на трудности обратного перехода от изображений к оригиналам. Дать какие-либо рекомендации общего характера невозможно. Советы, полезные для решения некоторых частных задач, можно найти в электротехнических и математических справочниках.

Вполне удовлетворительный выход заключается в том, чтобы не делить переходный ток на две составляющие, а попытаться найти его как сумму результатов некоторых простых (элементарных) воздействий на цепь. При бесконечно большом числе элементарных воздействий сумма превращается в интеграл. Примером простого воздействия может служить включение цепи на единичное постоянное напряжение. В связи с этим возникает понятие переходной проводимости.

И 1.30

Переходная проводимость выбранной (k-ой) ветви пассивного двухполюсника равна переходному току, возникающему в этой ветви при включении двухполюсника на источник постоянного напряжения 1 вольт.

Если цепь (двухполюсник) включается на постоянное напряжение u₀, то переходная проводимость k-ой ветви

где -переходный ток в этой ветви (рис. 1.21). Переходный ток пропорционален приложенному напряжению, поэтому при u ₀ =1 переходная проводимость численно равна току. Как видно из последней формулы, размерность переходной проводимости – сименс(См).

По аналогии с переходной проводимостью вводится понятие переходной функции по напряжению, которое используется для расчета напряжений на элементах цепи в течение переходного процесса.

Переходная функция по напряжению для любого элемента пассивного двухполюсника численно равна переходному напряжению, возникающему на этом элементе при включении двухполюсника на источник постоянного напряжения 1 вольт.

Если цепь включается на постоянное напряжение u ₀, то переходная функция напряжения для n – го элемента равна

где – переходное напряжение на этом элементе. Функция H(t) безразмерна.

Пример 1.6. Определим переходную проводимость единственной ветви двухполюсника, показанного на рис. 1.22. После включения цепи в ней происходит переходный процесс, который описывается уравнением второго закона Кирхгофа

Установившийся ток равен Начальное значение тока i (0)=0 по первому закону коммутации. Характеристическое уравнение имеет корень Переходный ток возрастает от нуля до установившегося значения по экспоненциальному закону (рис. 1.23., сплошная линия):

Коэффициент при экспоненте подобран так, чтобы выполнялось начальное условие i(0)=0.

Входная переходная проводимость двухполюсника по определению (39) равна

Пример 1.7. Определим переходные проводимости трех ветвей двухполюсника, представленного на рис. 1.24. Для упрощения расчетов допустим, что R ₁ = R ₂ = R ₃ = R , u ₀ =1.

Эквивалентное сопротивление цепи относительно зажимов источника Установившиеся токи , . Начальные значения токов i ₂ (0)=0 (по первому закону коммутации), (по законам Кирхгофа в момент коммутации). Характеристическое уравнение

имеет корень Переходные токи изменяются от начальных до установившихся значений по экспоненциальному закону (рис. 1.25). Переходные проводимости ветвей численно равны протекающим в них переходным токам:

Коэффициенты при экспонентах подобраны так, чтобы при t=0 получались начальные значения токов.

Постоянные составляющие переходных проводимостей являются входной проводимостью первой ветви ( ) и передаточными проводимостями этой ветви ( , ) на постоянном токе (определение входной и передаточной проводимостей см. Часть 1, §2.3).

До сих пор предполагалось, что отсчет времени начинается с момента коммутации, или включение цепи происходит в момент времени t =0. Когда цепь подвергается нескольким воздействиям и все они происходят в разные моменты времени, в решении задачи (в выражения переходных токов) входят моменты коммутации.

Допустим, что включение лабораторной катушки (рис. 1.22) произошло в момент времени τ>0. Переходный процесс будет происходить так же, как и при включении в момент t =0, но с запаздыванием на промежуток времени τ (рис. 1.23). В системе координат кривая выглядит так же, как кривая i ( t ) в системе координат ( t , i ). Значит, уравнения кривой i ( t ) в координатах ( t , i ) и кривой в координатах одинаковы. Согласно уравнению (40)

По рис. 1.23 видно, что в любой точке оси ординат , точнее, (в частности, при t =0 и при t=τ). Принимая во внимание зависимость между t и , выражение (41) можно записать в виде

Это уравнение переходного тока для того случая, когда коммутация произведена с запаздыванием τ. Аргумент t-τ называется запаздывающим аргументом.

Переходные проводимости, как правило, записывают с запаздывающим аргументом, заменяя t на t -τ, например, в примере 1.6

Для каждого момента коммутации (если их несколько) получается свое значение запаздывания τ. Отсчет времени обычно начинается с момента первой коммутации.

Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 73; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!