Система уравнений Кирхгофа в операторной форме
Правила соответствия между операторными токами и напряжениями на основных элементах электрических цепей
Резистор. По определению резистора (часть I, И 1.11) напряжение на нём пропорционально току, 
Согласно правилу 2 преобразования Лапласа
(1.29)
| И 1.19 | Операторное напряжение на резисторе пропорционально операторному току в нём, коэффициент пропорциональности равен активному сопротивлению резистора. |
Идеальная катушка. По определению идеальной катушки (часть I, И 1.13) напряжение на ней пропорционально скорости изменения тока, 
. Согласно правилам 2 и 4 преобразования Лапласа
(1.30)
| И 1.20 | Операторное напряжение на индуктивности (при нулевом начальном токе в ней) пропорционально операторному току
Коэффициент пропорциональности
 (1.31)
называется операторным сопротивлением индуктивности (идеальной катушки).
|
Предостережение. Формулировка И 1.20 не является полной. Строго говоря, формулировка, соответствующая соотношению (1.30) должна быть такой: операторное напряжение на индуктивности пропорционально операторному току с коэффициентом pL за вычетом начального значения Li (0). Практически удобно запомнить сокращенную формулировку И 1.20, но не забывать, что операторное напряжение на индуктивности включает в себя независимое начальное условие, следующее из первого закона коммутации.
|
|
|
Конденсатор. По определению конденсатор (Часть I, И 1.16) ток в нем пропорционален скорости изменения тока, 
Согласно правилам 2 и 4 преобразования Лапласа
Разрешив это соотношение относительно операторного напряжения, получаем
(1.32)
Замечание. Эту формулу можно вывести иначе, применив преобразование Лапласа к выражению переходного напряжения на конденсаторе
и воспользовавшись правилами 5 и 7 для изображений интеграла и постоянной величины.
| И 1.21 | Операторное напряжение на ёмкости (при нулевом начальном напряжении на ней) пропорционально операторному току
коэффициент пропорциональности
 (1,33)
называется операторным сопротивлением ёмкости (конденсатора).
|
Полная формулировка, соответствующая формуле (1.32), звучит несколько иначе: операторное напряжение на ёмкости пропорционально операторному току с коэффициентом 1/( pC) при добавлении начального значения u (0)/ p. Можно пользоваться сокращенной формулировкой И 1.21, но при этом нужно помнить, что операторное напряжение на ёмкости включает в себя независимое начальное условие, следующее из второго закона коммутации.
|
|
|
Замечание. Комплексное сопротивление, используемое в цепях переменного синусоидального тока, является частным случаем операторного сопротивления:
где использовано обозначение комплексной переменной p = δ+ jω; при δ=0, очевидно, p= jω.
Система уравнений Кирхгофа в операторной форме
Систему уравнений Кирхгофа для операторных токов можно получить, подвергнув преобразованию Лапласа систему уравнений для переходных токов. Отсюда следует важный вывод:
| И 1.22 | Порядок записи системы уравнений Кирхгофа (Часть I, И 1.64) сохраняется неизменным независимо от формы их записи. |
Речь может идти только об изменении последовательности выполнения тех или иных математических операций, когда это допускается правилами математики.
| И 1.23 | Принципиальной особенностью уравнений Кирхгофа для операторных токов является наличие в них независимых начальных условий, определяемых по законам коммутации. |
Пример 1.3. Переходный процесс в цепи, показанный на рис. 1.13, описывается уравнением
|
|
|
Выполнив преобразование Лапласа, можно получить уравнение в операторной форме. Однако мы поступим иначе. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для операторных напряжений:
где U ( p )- операторное напряжение, соответствующее напряжению источника U ( t ).
Рис. 1.13.ключение цепи RLC
Подставим в последнее уравнение выражения для операторных сопротивлений через операторный ток (формулы 1.29, 1.30, 1.32):
После перегруппировки слагаемых получаем:
(1.34)
В правой части равенства наряду с операторным напряжением источника находятся слагаемые, соответствующие независимым начальным условиям. Их можно интерпретировать как дополнительные операторные ЭДС.
| И 1.24 | В уравнения Кирхгофа для операторных токов входят дополнительные операторные ЭДС, соответствующие начальным значениям токов в индуктивностях и начальным значениям напряжений на ёмкостях. |
(1.35)
где индекс k равен номеру ветви, в которую включены соответствующие элементы.
|
|
|
Важно обратить внимание на то, что операторное напряжение U ( p ) и дополнительная операторная ЭДС Li (0) входят в правую часть уравнения (1.34) с одинаковыми знаками. Направления напряжения U ( p ) и тока I ( p ) совпадают (от верхнего зажима к нижнему на рис. 1.13). Значит, направление ЭДС Li (0) совпадает с направлением тока I ( p ). Можно рассуждать иначе: операторный ток I ( p ) и значение переходного тока i (0) привязаны к направлению, выбранному для переходного тока i ( t ). Значит, направление ЭДС Li (0) всегда совпадает с направлением операторного тока I ( p ).
Операторное напряжение источника U ( p ) и дополнительная операторная ЭДС 
входят в правую часть уравнения (34) с разными знаками. Возможны два решения: первое – ЭДС uc (0)/ p направлена в схеме цепи навстречу току I ( p ); второе – ЭДС (- uc (0)/ p ) направлена в одну сторону с током I ( p ). Авторы различных учебников и монографий придерживаются либо одного, либо другого решения. Мы будем придерживаться второго варианта, это решение уже зафиксировано во второй из формул (1.35).
| И 1.25 | Направления дополнительных операторных ЭДС L k i k (0) и (- u ck (0)/ p ) совпадают с направлением тока в к-й ветви. |
В рассматриваемом примере имеют место однородные (нулевые) начальные условия. По первому закону коммутации i (0) = 0, потому что до коммутации цепь была отключена. По второму закону коммутации uc (0)=0, если конденсатор перед включением не был заряжен. Следовательно, уравнение (1.34) принимает вид
Множитель перед операторным током
называется операторным сопротивлением. Он отличается от комплексного сопротивления рассматриваемой цепи только заменой коэффициента jω на p.
Искомый операторный ток равен
Легко проверить, что в случае, если используется источник постоянного или синусоидального напряжения, выражение для операторного тока представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой помещается многочлены переменной p(см. правила 7 и 8 для преобразования Лапласа).
Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 91; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!