Возрастание и убывание функции на интервале.
Определение возрастающей функции.
Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых 
и 
выполняется неравенство 
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Определение убывающей функции.
Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство 
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b), то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.
К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале 
мы можем утверждать о возрастании на отрезке 
.
Точки экстремума, экстремумы функции.
Точку 
называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство 
. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают 
.
Точку называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство 
. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают 
.
Под окрестностью точки понимают интервал 
, где 
- достаточно малое положительное число.
|
|
|
Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.
Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.
На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.
Достаточные условия возрастания и убывания функции.
На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.
Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:
· если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;
· если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:
· найти область определения функции;
· найти производную функции;
· решить неравенства 
и 
на области определения;
· к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.
|
|
|
Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.
Пример.
Найти промежутки возрастания и убывания функции 
.
Решение.
На первом шаге нужно найти область определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, 
.
Переходим к нахождению производной функции:
Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства 
и 
на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x=0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.
Таким образом, 
и 
.
В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.
|
|
|
Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.
Ответ:
функция возрастает при 
, убывает на интервале (0;2].
Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 141; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!