Преобразование Лапласа. Основные свойства преобразования Лапласа

Преобразованием Лапласа называют соотношение

ставящее функции x ( t ) вещественного переменного в соответствие функцию X ( s ) комплексного переменного s (s = σ + jω). При этом х ( t ) называют оригиналом, а Х( s ) — изображением или изображением по Лапласу. То, что х ( t ) имеет своим изображением Х( s ) или оригиналом Х( s ) является х ( t ),записывается так:

или Иногда также пользуются символической записью

где L – оператор Лапласа.

Предполагается, что функция х ( t ), которая подвергается преобразованию Лапласа, обладает следующими свойствами: х ( t ) определена и кусочно-дифференцируема на всей положительной числовой полуоси [0, ∞]; х ( t ) = 0 при t < 0; существуют такие положительные числа М и с, что | x ( t ) | ≤ Me^ct при 0 ≤ t < ∞. Функции, обладающие указанными тремя свойствами, часто называют функциями-оригиналами.

Соотношение определяющее по известному изображению его оригинал (в точках непрерывности последнего), называют обратным преобразованием Лапласа. В нем интеграл берется вдоль любой прямой ReS = σ₀ > с. Символически обратное преобразование Лапласа можно записать так:

где символ L^-1 — обратный оператор Лапласа.

Дифференциальные уравнения САУ. Уравнения статики. Линеаризация уравнений. Стандартная форма записи линейных дифференциальных уравнений.

В общем случае звенья и системы описывают нелинейными дифференциальными уравнениями произвольного порядка. Под звеном понимается математическая модель элемента. Для примера рассмотрим звено, которое можно описать дифференциальным уравнением второго порядка где y – выходная величина, u и f – входные величины, и – первые производные по времени, – вторая производная по времени.

Уравнение (2.1), описывающее процессы в звене при произвольных входных воздействиях, называют уравнением динамики. Пусть при постоянных входных величинах u = u⁰ и f = f⁰ процесс в звене с течением времени установится: выходная величина примет постоянное значение y = y⁰. Тогда (2.1) примет вид

Это уравнение описывает статический или установившийся режим и его называют уравнением статики

Статический режим можно описать графически с помощью статических характеристик. Статической характеристикой звена или элемента (а также системы) называют зависимость выходной величины от входной в статическом режиме.

Главным упрощением, к которому следует стремиться при выводе уравнений звеньев системы, является их линеаризация, т. е. описание линейными дифференциальными уравнениями. Линеаризация нелинейности, содержащейся в уравнении звена, заключается в замене этой нелинейности приближенной линейной зависимостью

Другой формой записи линейных уравнений звеньев является запись с помощью передаточной функции. Уравнение (2.7) при этом принимает вид: (2.8или

В общем случае звено системы автоматического управления, имеющее п входов, описывается дифференциальным уравнением

(2.10) или в другом виде (2.11)

Здесь x_i — входные воздействия на звено (i = 1, 2, ..., n); Q(p) и R_i(р) — полиномы относительно р;

— передаточная функция звена для i-го входного воздействия.

Стандартная форма записи линейных дифференциальных уравнений.Обычно линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами не выше второго порядка записывают в стандартной форме. При этом члены, содержащие выходную величину и ее производные, записывают в левой части уравнения, а все остальные члены — в правой; коэффициент при выходной величине делают равным единице. Если в правой части содержатся производные, то члены, содержащие какую-либо одну входную величину и ее производные, объединяют в одну группу и коэффициент при соответствующей входной величине выносят за скобки.

Уравнение (2.26) в стандартной форме принимает вид (2.36)

Где

В уравнении (2.36) постоянные Т₀, Т₁ и Т₂ имеют размерность времени и их называют постоянными времени, а коэффициенты k₁ и k₂ — передаточными коэффициентами. Если исходное уравнение (2.26) не содержит y (a₂ = 0), то в стандартной форме коэффициент при производной y должен быть равен единице: обе части уравнения делят на коэффициент a₁.

Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 194; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!