Сложение ускорений (теорема Кориолиса)

 

 

Теорема. При сложном движении точки её абсолютное ускорение равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

a=a_r+a_e+a_c ,

где a_r– относительное ускорение; a_e – переносное ускорение; a_c – ускорение Кориолиса.

Доказательство теоремы Кориолиса достаточно сложно и здесь не приводится.

Кориолисовым ускорением называется составляющая абсолютного ускорения точки в сложном движении, равная удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного вращения на относительную скорость точки:

a_c = 2( xV_r),

где  – вектор угловой скорости переносного вращения.

Согласно правилу векторного произведения a_c┴ , a_c┴V_r.

 

Кориолисово ускорение характеризует:

1) изменение модуля и направления переносной скорости точки вследствие её относительного движения;

Изменение направления относительной скорости точки вследствие вращательного переносного движения.

Например, если человек идет равномерно вдоль радиуса равномерно вращающейся платформы, то относительной скоростью является скорость его движения вдоль радиуса, а переносной – скорость той точки платформы, где он находится в данный момент времени (рис. 2.46).

 

Пусть в момент времени t человек занимает на платформе положение, показанное на рис. 2.46,а, а в момент времени t + ∆t положение, показанное на рис. 2.46,б.

Так как относительное движение равномерное и прямолинейное, то относительное ускорение человека a_r = 0. Однако за время ∆t относительная скорость изменяется по направлению, вследствие вращения подвижной системы отсчёта, закрепленной на платформе.

Рис. 2.46

За время ∆t происходит изменение модуля переносной скорости от V_e = I I·r до V_e = I I·R вследствие относительного перемещения человека. Указанные изменения относительной V_r и переносной V_e скоростей и вызывают появление кориолисова ускорения.

Модуль кориолисова ускорения определится как модуль векторного произведения:

a_c = 2·ω_e·V_r·sin( ,V_r),

где ω_e = I I – модуль вектора угловой скорости переносного вращения.

Кориолисово ускорение равно нулю в трёх случаях:

1) если ω_e = 0, т. е. в случае поступательного переносного движения или в момент обращения в нуль угловой скорости непоступательного переносного движения;

2) если V_r = 0, т. е. в случае относительного покоя точки или в момент равенства нулю модуля относительной скорости движущейся точки;

3) если sin( ,V_r) = 0, т. е. в случае, когда вектор относительной скорости V_r и вектор переносной угловой скорости  параллельны (V_r|| ).

Направление кориолисова ускорения определяется по правилу векторного произведения. a_c┴V_r, a_c┴  и направлено в сторону, откуда поворот вектора  к вектору V_r для совмещения их направлений виден происходящим против хода часовой стрелки. Поворот осуществляется на угол меньше 180^о.

Рис. 2.47

Пример. Пусть векторы  и V_r лежат в горизонтальной плоскости и направлены так же, как и единичные векторы i, j правой системы отсчёта (рис. 2.47).

 

По правилу векторного произведения вектор a_c ускорения Кориолиса направлен по отношению к векторам  и V_r так же, как и единичный вектор k по отношению к векторам i и j.

Для определения направления кориолисова ускорения используется правило Жуковского: для определения направления ускорения Кориолиса необходимо относительную скорость V_r точки спроецировать на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения, и повернуть эту проекцию в той же плоскости на угол 90^о в сторону переносного вращения.

Рис. 2.48

Для иллюстрации правила Жуковского рассмотрим движение точки по образующей конуса с относительной скоростью V_r под углом α от его вершины к основанию (рис. 2.48).

Модуль кориолисова ускорения равен

a_c = 2·ω_e·V_r·sin(180^о – α),

где ω_e – модуль вектора угловой скорости переносного вращения.

На рис. 2.48  – проекция относительной скорости V_r на плоскость (плоскость на рисунке заштрихована), перпендикулярную оси переносного вращения. Направление ускорения Кориолиса a_c совпадает с направлением единичного вектора i₁ неподвижной системы отсчёта O₁X₁Y₁Z₁.

Для закрепления теоретического материала необходимо выполнить курсовое задание К 4.

---

Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 263; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!