Доказательство достоверности решения, полученного методом Фурье

1.Подставим функцию (15) в исходное дифференциальное уравнение

Подставляем коэффициенты

выполнение этого равенства можно проверить графически, построив графики функции и некоторой частичной суммы ряда, стоящего справа.

Например, взяв значения управляемых параметров получим:

График функции

наблюдается визуальное совпадение графиков на промежутке , значит, условие выполняется.

Таким образом показано, что найденная функция удовлетворяет всем условиям краевой задачи (1), (2). Следовательно,достоверность решения этой задачи доказана.

Табулирование значений искомой функции в узлах сетки, покрывающей область, в которой найдено решение

Для того, чтобы провести табулирование значений найденной функции по области D, нужно сначала подсчитать – количество членов ряда, необходимое для соответствия значений заданной точности .

Вычисление проводится из условия при

Смысл этого условия состоит в том, что ненулевое граничное условие, описываемое равенством (16) должно выполняться с точностью

Для подсчета количества членов ряда задаем значение управляемых параметров и используем программу-приложение к курсовой работе Course_ Work. exe.

– количество членов ряда, которое понадобилось для удовлетворения условию в точке

Максимальное значение n=138, значит для табулирования значений функции в точках области будем задавать 138 членов ряда.

Для табулирования значения функции также используем программу Course_ Work. exe.

Задаем , те же значения управляемых параметров и вычисляем значение функции по формуле (15) в точках , которые являются узлами прямоугольной сетки размером 10x10, покрывающей область D: ,

Таблица значений

y/x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
9	4,69536	4,91417	5,59246	6,79819	8,65248	11,34292	15,14517	20,45856	27,86851	38,27329	53,20205
8	8,96028	9,37638	10,66622	12,95864	16,48315	21,59398	28,80876	38,86861	52,83366	72,2412	99,36742
7	12,40661	12,97917	14,75385	17,90744	22,75416	29,77741	39,6788	53,45005	72,4757	98,67482	134,6795
6	14,72652	15,39945	17,48514	21,1908	26,88437	35,13023	46,74333	62,86497	85,06284	115,45344	156,83324
5	15,7225	16,43	18,62278	22,51852	28,50345	37,16949	49,36971	66,29478	89,57115	121,3761	164,55442
4	15,32652	15,99945	18,08514	21,7908	27,48437	35,73023	47,34333	63,46497	85,66284	116,05344	157,43324
3	13,60661	14,17917	15,95385	19,10744	23,95416	30,97741	40,8788	54,65005	73,6757	99,87482	135,8795
2	10,76028	11,17638	12,46622	14,75864	18,28315	23,39398	30,60876	40,66861	54,63366	74,0412	101,16742
1	7,09536	7,31417	7,99246	9,19819	11,05248	13,74292	17,54517	22,85856	30,26851	40,67329	55,60205
0	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3

Из таблицы значений функции видно, что выполняются граничные условия для этой функции, а именно:

Протабулируем также значения частной производной в тех же узлах прямоугольной сетки D.

Таблица значений

y/x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
9	0,44122	0,92658	1,50484	2,23466	3,19159	4,4785	6,24397	8,72118	12,3302	17,99998
8	0,83905	1,76188	2,86083	4,24659	6,06037	8,49118	11,80269	16,37933	22,8087	32
7	1,15452	2,42402	3,93499	5,83821	8,32406	11,64232	16,12858	22,2395	30,59429	42
6	1,3569	2,84867	4,6234	6,8569	9,76938	13,64537	18,85712	25,8891	35,35625	48,00001
5	1,42661	2,99489	4,86035	7,20725	10,26573	14,3315	19,78777	27,12585	36,95658	50,00001
4	1,3569	2,84867	4,6234	6,8569	9,76938	13,64537	18,85712	25,8891	35,35625	48,00001
3	1,15452	2,42402	3,93499	5,83821	8,32406	11,64232	16,12858	22,2395	30,59429	42
2	0,83905	1,76188	2,86083	4,24659	6,06037	8,49118	11,80269	16,37933	22,8087	32
1	0,44122	0,92658	1,50484	2,23466	3,19159	4,4785	6,24397	8,72118	12,3302	17,99998
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Из таблицы значений частной производной по видно что выполняются граничные условия для этой функции, а именно:

Выполнение граничных условий при табулировании значений и подтверждает правильность нахождения функции и самого табулирования.

Вывод конечно-разностных уравнений, формулировка вычислительной схемы метода конечных разностей

Решаем поставленную в §2 граничную задачу методом конечных разностей, в результате чего получим приближенные значения функции , только в узлах прямоугольной сетки, покрывающей область D.

- шаги разбиений по переменной и по переменной ; узел (i,j) – это узел сетки, имеющий координаты (

В граничных узлах нам известны значение функции или значение производной

(из граничных условий краевой задачи). В каждом внутреннем узле (i,j) от ДУЧП Лапласа переходим к конечно-разностному уравнению, заменяя частные производные на отношения конечных разностей:

Конечно-разностное уравнение:

Равенство (17), записанное для каждого внутреннего узла (i,j), представляет собой систему линейных алгебраических уравнений размером (9х9) относительно неизвестных . При этом в каждое уравнение входит 5 неизвестных: ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> Эти неизвестные образуют «крест», поэтому говорят, что метод конечных разностей приводит ДУЧП Лапласа к конечно-разностной схеме в виде креста.

Решение системы уравнений (17) находим методом Гаусса. При этом значения , т.е. значения функции в граничных узлах, считаем известными из граничных условий и переносим их в правые части уравнений.

В решаемой задаче на левой и на правой границах области D заданы были условия Нейтмана, т.е. условия для . Поэтому нужно эти условия перевести на функцию , заменить для этого частную производную на отношение конечных разностей:

На верхней и нижней границе значения и берем как известные из граничных условий, а именно:

Для решения системы уравнений (17) методом Гаусса используем программу C ourse _ work . exe. Управляемые параметры задаем такие же, как и при табулировании значений функции, полученных методом Фурье:

Таблица значений функции , полученных методом конечных разностей:

y/x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
9	4.69536	4.94680	5.65354	6.88538	8.76443	11.47832	15.30182	20.63198	28.04840	38.42852	53.20205
8	8.96028	9.43829	10.78197	13.12356	16.69401	21.84701	29.09700	39.17770	53.13310	72.46362	99.36742
7	12.40661	13.06411	14.91247	18.13287	23.04106	30.11872	40.06146	53.84870	72.84265	98.92545	134.67950
6	14.72652	15.49905	17.67096	21.45439	27.21863	35.52535	47.18144	63.31299	85.46338	115.71604	156.83325
5	15.72250	16.53463	18.81791	22.79511	28.85375	37.58261	49.82599	66.75845	89.98183	121.64208	164.55441
4	15.32652	16.09905	18.27096	22.05439	27.81864	36.12537	47.78146	63.91299	86.06337	116.31603	157.43324
3	13.60661	14.26411	16.11247	19.33287	24.24106	31.31873	41.26147	55.04870	74.04266	100.12547	135.87950
2	10.76028	11.23829	12.58196	14.92356	18.49402	23.64701	30.89700	40.97769	54.93309	74.26362	101.16741
1	7.09536	7.34680	8.05354	\|9.28538	11.16443	13.87832	17.70182	23.03198	30.44839	40.82851	55.60205
0	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3

Сравним значения функции U ( x, y), вычисленные точным методом Фурье и приближенным методом конечных разностей. Для этого вычислим абсолютные и относительные погрешности в каждом из узлов (i,j).

;

Таблица абсолютных погрешностей

y/x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
9	0.03263	0.06107	0.08719	0.11195	0.13540	0.15665	0.17342	0.17989	0.15524	0
8	0.06191	0.11575	0.16491	0.21087	0.25304	0.28824	0.39865	0.29944	0.22243	0
7	0.08494	0.15862	0.22543	0.28690	0.34131	0.38266	0.39865	0.36696	0.25063	0
6	0.09960	0.18582	0.26358	0.33426	0.39513	0.43811	0.44802	0.40054	0.26260	0
5	0.10462	0.19513	0.27659	0.35029	0.41312	0.45629	0.46367	0.41068	0.26598	0
4	0.09960	0.18582	0.26359	0.33427	0.39514	0.43813	0.44802	0.40053	0.26260	0
3	0.08494	0.15862	0.22544	0.28691	0.34132	0.38267	0.39865	0.36696	0.25064	0
2	0.06191	0.11575	0.16491	0.21087	0.25304	0.28824	0.30908	0.29942	0.22242	0
1	0.03263	0.06107	0.08719	0.11195	0.13540	0.15665	0.17342	0.17988	0.15523	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Таблица относительных погрешностей

y/x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
9	0,00664	0,0066	0,00654	0,00647	0,00637	0,00623	0,00599	0,00554	0,00446	0
8	0,01092	0,01085	0,01075	0,01063	0,01048	0,01027	0,00994	0,00929	0,00764	0
7	0,01283	0,01273	0,01259	0,01244	0,01228	0,0121	0,0118	0,01117	0,00948	0
6	0,01294	0,01279	0,01261	0,01243	0,01229	0,01216	0,01198	0,01153	0,01013	0
5	0,01194	0,01172	0,01146	0,01125	0,01111	0,01106	0,01102	0,01082	0,00985	0
4	0,01034	0,01001	0,00964	0,00937	0,00924	0,00925	0,00936	0,00942	0,00893	0
3	0,00848	0,01026	0,00746	0,00713	0,00699	0,00706	0,00729	0,0076	0,00759	0
2	0,00645	0,00567	0,00506	0,00471	0,00458	0,00468	0,00498	0,00548	0,00594	0
1	0,00406	0,00308	0,00254	0,00227	0,00219	0,00226	0,00251	0,003	0,00382	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Получили, что наибольшая относительная погрешность равна 1.294% и наблюдается в узле (1,6). В целом сравнение показывает, что приближенный метод конечных разностей для решаемой краевой задачи и для сетки (10х10) дает результаты, близкие к результатам, полученным точным методом Фурье.

Исследование решения задачи

Потребовалось построить линии уровня функции для нескольких отношений управляемых параметров по плотности расположения этих линий уровня сделать вывод об интенсивности изменения электростатического потенциала по области D.