Решение задачи модифицированным методом Фурье.

           y

b

                                                 D

       0                           a                                    x

Имеем ДУЧП Лапласа:

Требуется найти функцию U(x,y), где ,  удовлетворяющую граничным условиям Неймана и условиям Дирихле:

На границе области D поддерживается заданный электростатический потенциал: на участках границы  потенциал равен 0 (участки электроизолированы), а на участках  и  задаются значения  известными функциями

Функция  – величина электростатического потенциала в точке  этой     области D.

Данная задача представляет собой смешанную краевую задачу для ДУЧП эллиптического типа.

Необходимые условия для решения задачи методом Фурье выполнены не полностью (а именно – нет равенства нулю граничных условий на 2-х противоположных сторонах прямоугольной области), поэтому дальнейшее решение продолжаем по модифицированному методу Фурье.

Управляемые параметры в задаче:  – длины сторон прямоугольной области D,

 – константы из функций, задающих граничные условия.

Решение задачи модифицированным методом Фурье.

Для ДУЧП Лапласа имеем:

Представим искомую функцию  в виде суммы 2-х функций:

Где для каждой функции  и  поставим краевую задачу с нулевыми граничными условиями на двух противоположных сторонах прямоугольной области.

Для

          y

b

                                                 D

       0                                a                                    x

Для

          y

b

                                                 D

       0                               a                                    x

I.Найдем функцию

Будем находить функцию  подбором как какую-нибудь функцию, удовлетворяющую всем поставленным на нее условиям:

Находим функцию  подбором:

 – линейная функция по x и y.

Эта функция, очевидно, удовлетворяет ДУЧП:

Коэффициенты a₁ a₂, a₃ попробуем подобрать так, чтобы удовлетворялись граничные условия:

 – верно, если a₂=0;

Получаем, что                                             

Проверка:

; ;

 подбором получена функция , удовлетворяющая ДУЧП и поставленным граничным условиям.

II.Найдем функцию  классическим методом Фурье

1. Искомую функцию двух переменных ищем в виде произведения 2-х функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

Далее разделяем переменные в ДУЧП:

Где  - это постоянная величина и по переменной , и по переменной .

Получаем систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

2. Перебрасываем нулевые граничные условия:

3. Решаем задачу Штурма — Лиувилля для второго уравнения системы (8) вместе с условиями (9)

т.е. найдем собственные числа , при которых система имеет нетривиальные решения в виде собственных функций .

ДУ из системы (10):  – ДУ второго порядка относительно функции , линейное, однородное с постоянными коэффициентами, поэтому

 где  – константы,

 – ФСЧР, которая находится с помощью корней характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение имеет вид:

В случае

 - действительные различные корни, причем  

ФСЧР:

Подставляем граничные условия:

таким образом, в случае  система (10) имеет только тривиальное решение

В случае

 - действительные равные корни,    

ФСЧР:

Подставляем граничные условия:

таким образом в случае  система (10) также имеет только тривиальное решение.

В случае

 – случай комплексно-сопряженных корней с  

ФСЧР:

Подставляем граничные условия:

Таким образом, в данной краевой задаче задача Штурма-Лиувилля оказалась разрешимой при  , и в результате получилось следующее счетное множество собственных чисел и собственных функций:

4. Решаем первое ДУ из системы (8): ,

где числа известны уже по формулам (11);

 это обыкновенное ДУ 2-го порядка относительно функции , линейное, однородное с постоянными коэффициентами, поэтому

 где  – константы,  – ФСЧР;

находим ФСЧР через корни характеристического уравнения:

 - действительные различные корни;

ФСЧР :

Для дальнейшего решения в задаче для ДУЧП Лапласа удобно перейти к другой фундаментальной системе:  и  по формулам:

Тогда имеем:

5. Перемножим функции  и  и получаем счетное множество функций , каждая из которых удовлетворяет исходному ДУЧП и нулевым граничным условиям на   2-х противоположных сторонах прямоугольной области.

Переобозначим произвольные пока коэффициенты:

Чтобы удовлетворить оставшимся двум условиям из набора (5) для  составим ряд из всех этих функций , предположим, что он сходится равномерно внутри области D, и его сумму обозначим как . Отсюда получится:

6. Находим коэффициенты  и , удовлетворяя функцией (13) граничным условиям при  и .

Граничные условия:

t wx:val="Cambria Math"/><w:i/></w:rPr><m:t>n</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Получилось разложение в ряд Фурье по синусам функции , дополненной нечетным образом на промежуток  и продолженной на всю числовую ось периодически с , значит, для нахождения коэффициентов этого ряда можно использовать стандартные формулы Фурье. В результате получаем:

Получаем:

получилось разложение в ряд Фурье по синусам функции , дополненной нечетным образом на промежуток  и продолженной периодически с  на всю числовую ось, значит, для нахождения коэффициентов этого разложения можно использовать стандартные формулы Фурье; в результате получаем

Считаем записанный интеграл, а затем коэффициенты :

Запишем функцию , используя формулу (13) и значения коэффициентов  и :

III.Складывая найденные функции V( x, y) и W( x, y), запишем искомую функцию

Таким образом, используя модификацию метода Фурье получили решение краевой     задачи (2) для уравнения Лапласа в прямоугольной двумерной области. Это решение имеет вид (15).

Мы поможем в написании ваших работ!