Прохождение случайных сигналов через линейные и нелинейные цепи

Краткая теория

Напомним, что линейная цепь не изменяет форму моногармонического сигнала (изменяются лишь амплитуда и фаза выходного сигнала). Однако при полигармоническом сигнале на входе форма выходного сигнала может существенно отличаться от входного, т. к. в соответствии с АЧХ и ФЧХ цепи изменится соотношение амплитуд и фаз составляющих спектра сигнала, а, следовательно, и форма сигнала (так называемые линейные искажения). Даже и в этом случае в спектре выходного сигнала будут те же частоты, что и в спектре входного, то есть линейная цепь не приводит к появлению новых частот в спектре сигнала.

Нелинейные цепи содержат хотя бы один нелинейный элемент (диод, транзистор, электронную лампу). Чаще всего нелинейный элемент определяют как двухполюсник или четырехполюсник, один из параметров которого (R, L, C, S и т.д.) зависит от напряжения или тока. Другое определение - наличие нелинейной вольтамперной характеристики (ВАХ). Как правило, ВАХ нелинейной цепи снимается экспериментально и по полученной таблице значений i(u) строится график ВАХ. Для анализа такой цепи (расчет спектра, расчет выходного сигнала) необходимо графическую функцию ВАХ аппроксимировать одной из простых математических функций:

1) степенной полином . Для большинства изучаемых процессов достаточно использовать полиномы второй и третьей степени;

2) отрезки функций, например, отрезки двух прямых, прямая и парабола и т.д.;

3) экспонента или сумма экспонент.

При выборе аппроксимирующей функции следует учитывать:

1) интервал аппроксимации - область значений аргумента, соответствующую входному сигналу (u_мин, u_мах);

2) форму ВАХ в интервале аппроксимации, которая предопределяет метод спектрального анализа;

3) степень аппроксимирующего полинома.

Высокая степень аппроксимирующего полинома усложняет расчеты, но повышает их точность. Кроме того, от степени аппроксимирующего полинома зависит максимальный номер рассчитываемой гармоники или порядок комбинационного колебания.

В общем случае при прохождении случайного сигнала как через линейные, так и нелинейные цепи изменяется вид закона распределения и числовые характеристики (спектральные и корреляционные). Если случайный процесс является гауссовским, а цепь линейной, то вид закона распределения не меняется, а изменяются лишь его числовые характеристики [m_x, σ_x, S_x(ω)].

Как известно, линейная цепь с постоянными параметрами характеризуется своей импульсной функцией g(τ) или ее преобразованием Фурье – передаточной функцией W(jω). Если на вход линейной цепи поступает случайный процесс X(t), то процесс Y(t) на выходе определяется интегралом Дюамеля

. (3.1)

На основании выражения (3.1) можно получить следующую связь между спектральными плотностями мощности стационарных процессов на входе S_x(ω) и выходе S_y(ω) линейной цепи с передаточной функцией W(jω)

S_y(ω) = S_x(ω) │W(jω)│². (3.2)

Из выражения (3.2) следует, что спектр процесса на выходе линейной цепи полностью определяется спектром процесса на входе и АЧХ цепи.

В том случае, когда исследуемый процесс не является гауссовским, закон распределения на выходе линейной цепи будет приближаться к гауссовскому (происходит нормализация процесса) только в том случае, если ширина спектра входного сигнала много шире полосы пропускания линейной цепи.

Среди нелинейных преобразований выделяются два класса: безынерционные (функциональные) и инерционные. Наиболее общими и сложными являются нелинейные инерционные преобразователи.

Простейший безынерционный нелинейный преобразователь можно выделить по формуле

y(t) = φ [x(t)],

где φ(x) – детерминированная функция, не зависящая в явном виде от t и являющаяся функцией только x. Это означает, что при заданном t = t₁ выходной процесс y(t₁) зависит только от x(t₁) и не зависит от прошлых и будущих значений x(t).

При прохождении случайного сигнала с плотностью вероятности p_x(x) через нелинейную безынерционную цепь с характеристикой преобразования y= φ (x) плотность вероятности сигнала на выходе определяется выражением

, где f(y) = x – функция, обратная y= φ (x).

Найдем плотность вероятности на выходе цепи с кусочно-линейной характеристикой – двухстороннего ограничителя (рис.4.1).

Его характеристика определяется по формуле

На интервале (X₁, X₂) преобразование является линейным y=kx. Поэтому внутри этого интервала , т.е. плотность вероятности процесса на выходе по виду совпадает с плотностью вероятности на входе цепи x(t).

Все значения x ≥ X₂ преобразуются в одно значение y = Y₂. Аналогично, все значения x ≤ X₁ преобразуются в значение y = Y₁. Следовательно, распределение для y(t) содержит два слагаемых вида дельта-функции с множителями (вероятностями):

и ;

Коэффициент λ определяется из условий нормировки .

Частным случаем рассмотренной цепи является односторонний ограничитель с параметрами X₁ = 0, X₂ = ∞, k = 1:

Полученное выражение плотности вероятности для y(t) приводится к виду:

, где .

При подаче на вход линейного амплитудного детектора узкополосного сигнала выходной сигнал совпадает с огибающей входного процесса. Если входной сигнал является гауссовским, то распределение вероятности выходного процесса является распределением Релея:

где σ² – дисперсия гауссовского процесса.

Цель работы

Исследование преобразования законов распределения мгновенных значений при прохождении случайных сигналов через линейные и нелинейные цепи.

Лабораторное задание

1. Исследовать прохождение сигнала с нормальным законом распределения через линейные и нелинейные цепи.

2. Исследовать процесс нормализации закона распределения при прохождении сигнала через линейную узкополосную цепь.

3. Исследовать прохождение узкополосного сигнала с нормальным законом распределения через амплитудный детектор.

В работе используются линейные (1-3) и нелинейные безынерционные (4-6) цепи (рис. 4.2):

1) ФНЧ с частотой среза 3 кГц;

2) ФНЧ с частотой среза 6 кГц;

3) ПФ с центральной частотой 6 кГц и полосой Δf = 0.5 кГц;

4) односторонний ограничитель;

5) двухсторонний ограничитель;

6) нелинейная цепь, вызывающая искажение типа «центральная отсечка».

Рис. 4.2. Цепи для исследования прохождения случайных сигналов

В качестве сигналов используются:

- белый шум (нормальный случайный процесс),

- гармонический сигнал со случайной начальной фазой,

- аддитивная смесь этих сигналов в разных соотношениях.

Программа работы

1. Прохождение сигнала с нормальным законом распределения через цепи 1- 6.

Сформировать гармонический сигнал со случайной начальной фазой частотой 1 кГц так, чтобы размах синусоиды на экране монитора составлял ±10000 (± 1 деление). Сформировать шум, при этом ширина шумовой дорожки на экране должна составлять ±30000 (±3 деления) при одинаковом масштабе по оси амплитуд, что соответствует ±3σ (согласно «правилу трех сигма» для нормального случайного процесса). Такое соотношение можно получить, если в меню «Шум» установить «Макс.значение» равным 40000.

В режиме «Статистика» (п.4.3 методических указаний) зафиксировать общую для всех цепей реализацию шумового сигнала до обработки, график плотности вероятности и его параметры m_x и σ_x.

Исследовать прохождение шумового сигнала через ФНЧ с частотой среза 3 кГц, для этого в режиме «Обработка» выполнить последовательность команд «Линейная обработка» - «Фильтрация» - «Эквалайзер» - «ФНЧ». Зафиксировать выходную реализацию, плотность вероятности выходного сигнала P_вых(x) и его параметры m_x и σ_x.

Повторить п.1.3 для остальных пяти цепей.

2. Нормализация закона распределения узкополосной линейной цепью.

Случайный сигнал с распределением, отличным от нормального, может быть получен путем пропускания нормального случайного процесса через нелинейную цепь (цепи 5 или 6 на рис. 4.1).

2.1. В окне шумового сигнала в режиме «Обработка» выполнить последовательность команд «Нелинейная обработка» - «Пороговое устройство» - «Тип1», установив А1 = А2 = 5000, в результате получите заметное двухстороннее ограничение сигнала. Зафиксируйте реализацию и гистограмму сигнала.

Проходя через узкополосную линейную цепь (цепь 3), такой сигнал «нормализуется», т.е. его закон распределения приближается к гауссовскому.

2.2. В окне ограниченного по уровню шумового сигнала в режиме «Обработка» выполнить последовательность команд «Линейная обработка» - «Фильтрация» - «Эквалайзер» - «ПФ». Зафиксируйте реализацию и гистограмму сигнала.

3. Законы распределения огибающей при различном отношении сигнал/шум

3.1. Для получения узкополосного случайного процесса используем полосовой фильтр – цепь 3, а для получения огибающей используем амплитудный детектор, состоящий из диодного ограничителя - цепь 4 и ФНЧ - цепь 1 (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Функциональная схема для реализации узкополосного случайного процесса

3.2. Сформировать гармонический сигнал со случайной начальной фазой частотой 6 кГц так, чтобы размах синусоиды на экране монитора составлял ±50000 - 5000 (± 1 деление).

3.3. Сформировать белый шум, при этом ширина шумовой дорожки на экране должна составлять ±30000 (±3 деления) при неизменном масштабе по оси амплитуд.

3.4. Зафиксировать реализации и гистограммы исследуемых сигналов (п. 3.2 и 3.3) на входе амплитудного детектора (вход цепи 4), установив А1 = 0, А2 = 50000, и на его выходе (выход цепи 1).

3.5. Получить аддитивную смесь гармонического сигнала и белого шума. Пропустить ее через полосовой фильтр. Зафиксировать реализацию узкополосного случайного процесса на входе амплитудного детектора.

3.6. Повторить п. 3.4.

Отчёт

Отчёт должен содержать:

1. Функциональные схемы исследований.

2. Результаты экспериментов с указанием условий их проведения.

1. Выводы по результатам исследований.

Контрольные вопросы

1. Что такое плотность вероятности? Поясните смысл и свойства графика плотности вероятности.

2. Функция распределения и плотность вероятности – какова их связь?

3. Нормальный случайный процесс и его свойства.

4. К каким случайным процессам относится «правило трёх сигма»?

5. Меняется ли форма графика Р(х) при прохождении любого случайного процесса через линейную инерционную цепь, нелинейную безинерционную цепь?

6. Как получить график Р(x) на выходе нелинейной цепи?

7. Что происходит с плотностью вероятности случайного сигнала, проходящего через узкополосную линейную цепь?

8. Что такое закон Рэлея?

9. Какому закону подчиняется распределение мгновенных значений огибающей смеси узкополосного нормального случайного процесса и гармонического сигнала?

10. Как рассчитать дисперсию процесса на выходе линейной цепи?

11. Как рассчитать математическое ожидание процесса на выходе линейной цепи?

ЛИТЕРАТУРА

1. Кушнир В.Ф., Ферсман Б.А. Теория нелинейных электрических цепей. М.:Связь,1974.

2. Андреев В.С. Теория нелинейных электрических цепей. М.: Радио и связь,1982.

3. Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Назаров М.В., Финк Л.М. Теория передачи сигналов. М.: Радио и связь, 1986.

4. Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Коржик В.И., Назаров М.В. Теория электрической связи. М.: Радио и связь, 1998.

5. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 2003.

6. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: «Дрофа»,2006.

Дата добавления: 2020-04-08; просмотров: 1912; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 45

Мы поможем в написании ваших работ!