Исследование законов распределения случайных сигналов

Краткая теория

К случайным относят сигналы, мгновенные значения которых заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы. По существу, до приема сообщения любой сигнал следует рассматривать как случайный процесс, представляющий собой совокупность функций времени, подчиняющихся некоторой общей для них статистической закономерности. Одна из этих функций, ставшая полностью известной после приема сообщения, называется реализацией случайного процесса. Наряду с полезными случайными сигналами в теории и практике приходится иметь дело со случайными помехами – шумами. Уровень шумов является основным фактором, ограничивающим скорость передачи информации при заданном сигнале. Поэтому изучение случайных сигналов неотделимо от изучения шумов. Полезные случайные сигналы, а также помехи часто объединяют термином случайные колебания или случайные процессы. Важной характеристикой случайного процесса является присущий ему одномерный закон распределения вероятностей. На рис. 3.1 изображена совокупность функций , образующих случайный процесс X(t). Значения, которые могут принимать отдельные функции в момент времени t = t₁, образуют совокупность случайных величин .

Рис. 3.1. Совокупность функций, образующих случайный процесс

Вероятность того, что величина x_k(t₁) при измерении попадает в заданный интервал (a,b) определяется выражением

Функция p(x,t₁) называется одномерной плотностью вероятности, а P(t₁) – интегральной вероятностью.

Для практических приложений наибольшее значение имеют следующие параметры случайного процесса:

математическое ожидание ;

дисперсия ;

среднее квадратическое отклонение σ_x(t) = .

Исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного процесса является n-мерная плотность вероятности при достаточно больших n.

Случайный процесс называется строго стационарным, если его плотность вероятности p(x₁, x₂,…, x_n; t₁, t₂,…, t_n) произвольного порядка n зависит только от интервалов t₂-t₁, t₃-t₁,…, t_n-t₁ и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента t. Для стационарного случайного процесса предыдущие выражения можно записывать без обозначения фиксированных моментов времени. В частности,

m_x = M(x) = ,

D_x = ,

Упрощение анализа случайных процессов достигается при использовании условия эргодичности процесса. Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если при определении любых статистических характеристик усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной теоретически бесконечно длинной реализации. Условие эргодичности случайного процесса включает в себя и условие его стационарности.

Примеры случайных процессов.

1. Гармоническое колебание со случайной амплитудой.

Пусть в выражении, определяющем сигнал,

x(t) = ,

частота и начальная фаза являются детерминированными и постоянными величинами, а амплитуда А – случайная, равновероятная в интервале от 0 до А_max величина (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Совокупность гармонических колебаний со случайной амплитудой

Найдем одномерную плотность вероятности p(x; i₁) для фиксированного момента времени t₁. Мr67гновенное значение x(t₁) может быть любым в интервале от 0 до , причем будем считать, что > 0. Следовательно,

График функции p(x; i₁) для фиксированного значения t₁представлен на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Плотность вероятности гармонического колебания со случайной амплитудой

Математическое ожидание

= .

Далее,

Дисперсия

Рассматриваемый случайный процесс нестационарный и неэргодический.

2. Гармоническое колебание со случайной фазой.

Пусть амплитуда и частота гармонического сигнала заранее известны, а начальная фаза θ – случайная величина, которая с одинаковой вероятностью может принимать любое значение в интервале от – π до π. Это означает, что плотность вероятности начальной фазы

– π < θ< π.

Найдем одномерную плотность вероятности p_x(x)dx случайного процесса X(t). Выделим интервал x, x+dx (рис. 3.4а) и определим вероятность того, что при измерении, проведенном в промежутке времени от t₁ до t₁+dt, мгновенное значение сигнала окажется в интервале x, x+dx.

Рис.3.4. К определению плотности вероятности гармонического колебания со случайной фазой (а) и плотность вероятности гармонического колебания со случайной фазой (б)

Очевидно, что вероятность p_x(x)dx совпадает с вероятностью попадания случайной фазы колебаний ψ в один из двух заштрихованных на рис.3.4а фазовых интервалов. Эта последняя вероятность равна . Следовательно,

откуда искомая функция

Окончательно получаем , -1 ≤ x ≤ 1.

График этой функции изображен на рис. 3.4б.

Рассматриваемый процесс стационарный и эргодический.

3. Гауссовский случайный процесс.

Нормальный (гауссовский) закон распределения случайных величин чаще других встречается в природе. Одномерная плотность вероятности нормального процесса определяется выражением

Гауссовский процесс является стационарным и эргодическим. Поэтому под m_x и можно подразумевать соответственно постоянную составляющую и среднюю мощность флуктуационной составляющей одной (достаточно длительной) реализации случайного процесса.

Графики плотности вероятности при нормальном законе для нескольких значений σ_x изображены на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Одномерная плотность вероятности нормального распределения

Функция p(x) симметрична относительно среднего значения. Чем больше σ_x, тем меньше максимум, а кривая становится более пологой (площадь под кривой p(x) равна единице при любых значениях σ_x).

Цель работы

Ознакомление с методикой экспериментального исследования плотностей вероятностей мгновенных значений случайных процессов. Установление количественных связей между характером случайного процесса, его числовыми характеристиками и графиками плотности вероятности.

Лабораторное задание

1. Получить с помощью ПК реализации сигналов, графики плотности вероятности и параметры m_x и σ_x.

2. Установить связь между характером реализации процесса, формой графика плотности вероятности и его параметрами.

Программа работы

1. Гармонический сигнал со случайной начальной фазой

1.1. Сформировать гармонический сигнал частотой 1 кГц и амплитудой 10000 (фазу установить произвольно).

1.2. Перевести ПК в режим «Статистика». Построить график плотности вероятности - гистограмму. Процедура анализа плотности вероятности в п. 4.3.1 методических указаний.

В отчете по данному пункту зафиксировать реализацию входного сигнала, график плотности вероятности.

1.3. Уменьшить амплитуду исследуемого сигнала в 2 раза.

1.4. Повторить п. 1.2.

2. Нормальный (гауссовский) случайный процесс

2.1. Сформировать шум, установив инициализацию генератора случайных чисел равной 10 и максимальное значение 30000.

2.2. Повторить п. 1.2.

2.3. Уменьшить максимальное значение шума в 2 раза.

2.4. Повторить п. 1.2.

3. Аддитивная смесь гармонического сигнала и гауссовского случайного процесса

3.1. Аддитивную смесь получить путем сложения гармонического сигнала и гауссовского шума с помощью команд «Обработка» - «Арифметические операции» - «Сложение» (аддитивная смесь сигналов образуется на выходе сумматора), при этом ширина шумовой дорожки должна быть в 3 раза больше размаха гармонического сигнала по вертикали. При таких параметрах выставлено соотношение сигнал/шум а/σ=1.

3.2. Повторить п. 1.2.

3.3. Установить максимальное значение шума 20000, оставив амплитуду гармонического сигнала прежней. При таких параметрах выставлено соотношение сигнал/шум а/σ = 1,5.

3.4. Повторить п.п. 3.1 и 1.2.

3.5. Установить максимальное значение шума 10000. При таких параметрах выставлено соотношение сигнал/шум а/σ = 3.

3.6. Повторить п.п. 3.1 и 1.2.

Отчет

Отчет должен содержать для каждого пункта исследований:

1) графики реализаций сигналов;

2) результаты измерений Р(x), m_x и σ_x.

Контрольные вопросы

1. Нарисуйте график плотности вероятности любого сигнала. Объясните, что отложено по осям, размерности. Смысл понятия «плотность вероятности».

2. Что такое случайный процесс и его реализация?

3. Что такое нормальный случайный процесс? Его аналитическая запись.

4. График P(x) для нормального закона и его изменения при увеличении или уменьшении s_x и m_x.

5. В чём различие стационарных и нестационарных процессов?

6. Что такое эргодический процесс?

Лабораторная работа № 4.

Дата добавления: 2020-04-08; просмотров: 828; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!