Об отрицательных величинах в физике.
При выводе закона сохранения импульса мы допустили, что скорость тела может быть отрицательной. Вообще говоря, в природе отрицательных величин не бывает, их придумали математики. С другой стороны, такие приёмы упрощают решение задач. Многие отрицательные величины появились в физике в результате договорённостей. Например, согласно Цельсию, температуру ниже точки замерзания чистой воды договорились считать отрицательной. Это удобно в быту и технике. А согласно Кельвину, отрицательной температуры вообще не бывает, температура любой среды может быть только положительной. Это удобно в теоретической физике. Рассмотрим, как в физике появились отрицательные скорости.
Предположим, расстояние от перекрёстка до школы 200 м направо, но школьник повернул налево и прошёл 200 м до киоска с мороженным. Результат отрицательный в плане посещаемости школы. Значит, можно записать, что налево школьник прошел минус 200 м. Если до киоска школьник шёл 200 секунд, значит, его средняя скорость равна -1 м/с. Мы понимаем, что со школьником ничего не случилось, пусть он и шел с отрицательной скоростью. Просто после того, как мы договорились считать направление «налево» отрицательным, любой путь «налево» будет иметь знак минус. При этом путь направо будет иметь знак плюс. Этот метод, который называется метод координат (или векторный) придумал математик Декарт ещё в XVII веке, а Ньютон использовал его в своей механике.
|
|
|
Часто говорят, путь, скорость, сила – это векторные величины, потому что результат движения зависит от направления (вектор – это и есть направление). Но мы должны понимать, что природные величины существуют независимо от нашей воли, а выбор положительного направления есть результат соглашения, он существует только на бумаге. Возьмём, скажем, время или температуру. Эти природные величины явно имеют выделенные направления – от прошлого к будущему, или от холода к теплу. Но математики наотрез отказываются признавать их векторами и понятно почему. В математике таких ограничений полным-полно. Собственно, математика это и есть игра с числами, в которую можно играть в одиночку и самому устанавливать правила игры. К сожалению, у физиков нет возможности договориться с Природой и скачивать энергию ниоткуда. В этом вся разница. Разумеется, польза математики велика, мы будем её использовать. Но только как средство. А целью для нас является поиск новых источников энергии. Но вернёмся к закону сохранения полного (суммарного) импульса, которое с учетом знаков имеет вид: р1 – р2 = 0 (9.1). Перепишем (9.1) в виде: m1v1 – m2v2 = 0 (9.2). Если t – время взаимодействия двух тел (например, время прохождения ядра внутри пушки), то разделив (9.2) на t, получаем: m1v1/t
|
|
|
= m2v2/t, или m1a1 = m2a2. С учетом (4.8) получаем:
F1 = F2 (9.3). Уравнение (9.3) принято называть третьим законом Ньютона. Так как он получен из закона сохранения импульса, его следует считать независимым от второго закона Ньютона. Это справедливо, так как второй закон был выведен из закона сохранения энергии. Законы Ньютона составляют основу классической механики.
Два закона Ньютона
Принято считать, что классическая механика стоит, как на трёх китах, на трёх законах Ньютона. Это не совсем так. На самом деле механика основана на четырёх законах Ньютона. Рассмотрим их подробнее.
Свой первый закон (закон инерции) Ньютон записал так: «Если на тело не действуют другие тела, то скорость данного тела не изменяется». Такое тело ещё называют «свободным». Заметим, свободным тело может быть только в глубоком космосе, где притяжение далеких звёзд практически отсутствует. В наши дни первый закон Ньютона формулируют по-другому: «Существуют тела отсчёта, относительно которых свободное тело перемещается с постоянной скоростью». Такое утверждение называется постулатом. Почему закон инерции понадобилось преобразовывать в постулат? Причины две. Во-первых, мы не никогда не сможем избавиться от притяжения Земли, хотя и верим, что за пределами Солнечной системы свободное тело будет двигаться по инерции миллионы лет с неизменной скоростью. Во-вторых, для измерения скорости необходимо знать длину пути и время в пути. Если время можно измерить секундомером, то для измерения длины пути необходимо иметь нулевую отметку. Тело, на котором сделана нулевая отметка, называют телом отсчёта. Из нулевой отметки проводят три воображаемые взаимно-перпендикулярные линии и размечают их на метры. Так получается виртуальная трехмерная координатная сетка.
|
|
|
Тело отсчета вместе с привязанной системой координат называют системой отсчёта. С учётом системы координат смысл постулата более ясен. Надо понимать, что в природе существуют системы отсчёта, относительно которых выполняется закон инерции – первый закон Ньютона. Такие системы принято называть инерциальными. Запомнить легко: в инерциальной системе выполняется закон инерции. Отсюда вытекает правило: если в некоторой системе отсчёта нарушается закон инерции (т. е. тело изменяет скорость без причины), значит, данная система отсчета не является инерциальной. Возникает вопрос, как выбирать инерциальную систему? Очевидно, если свободное тело движется с постоянной скоростью, значит, инерциальная система сама тоже должна двигаться с постоянной скоростью. Если тело движется с ускорением, его нельзя рассматривать в качестве инерциальной системы отсчёта.
|
|
|
Свой второй закон Ньютон записывал так: a =F/m (10.1). Он говорил, что ускорение тела пропорционально силе и обратно пропорционально массе. Отсюда следует, что если известна сила, ускорение тела вычислить легко. Но как измерить силу? Мы до сих пор не совсем понимаем, что такое сила (дать определение, это ещё не значит – понять), а уж придумать прибор для её измерения – вовсе непросто. Гораздо легче измерить ускорение: есть секундомер, есть рулетка. Поэтому в наши дни второй закон записывают так: F = ma (10.2). Второе уравнение равносильно первому, но применять его гораздо удобнее. Считается, что второй закон открыт опытным путем. Мы вывели уравнение (10.1) из закона сохранения энергии, который, в общем, тоже установлен на основании опытов. Заметим, что уравнение второго закона Ньютона верно только относительно инерциальной системы отсчёта. Если относительно некоторой системы отсчёта тело имеет ускорение без видимых причин, значит, данная система не является инерциальной.
Другие два закона Ньютона
Ранее мы вывели закон сохранения импульса: P1 = P2 (11.1). Из уравнения (11.1) легко получается третий закон Ньютона: F1 = F2 (11.2). В стандартном учебнике третий закон читается так: сила действия F1 равна силе противодействия F2. Понять это не просто, поэтому в учебнике сразу следует картинка с тележкой, которую толкает рабочий. На этом учебном примере нам пытаются объяснить, чем сила противодействия тележки отличается от силы действия рабочего и почему она не может её уравновесить, хотя и равна ей. Используются термины, разъяснения, но понимания так и не наступает. Попробуем разобраться, в чём тут дело.
В нашем энергетическом подходе третий закон Ньютона вытекает из закона сохранения импульса (10.3). Это уравнение получено опытным путем. Оно практично, понятно, его ничем не опровергнуть. Нам не надо читать уравнение (11.1) в виде: «импульс действия равен импульсу противодействия». Это звучит бессмысленно. Мы знаем, что импульс сохраняется, как сохраняется энергия. И всё. Сложности не нужны, если они не помогают понять суть вещей.
Остаётся вопрос, откуда берётся «сила противодействия» F2? Очень просто. Она появляется в системе отсчета, связанной с тележкой, которая движется с ускорением. Такую тележку нельзя брать в качестве системы отсчёта, это нарушение постулата об инерциальной системе. Так как законы Ньютона верны только в инерциальной системе отсчёта, неудивительно, что при нарушении второго закона возникает иллюзия силы, которая не связана ни с каким телом. Эту силу Фейнман называл фиктивной, так как она существует только в воображении. Реальная сила, писал Фейнман, должна иметь источник – реальное тело. Этот принцип будет более понятным, если мы рассмотрим ускоренное движение тела относительно системы отсчета, привязанной к неподвижным звёздам.
Представим, что в космос запущена ракета с космонавтом на борту. Относительно неподвижных звёзд сила F1 тяги двигателя придаёт ракете ускорение a = F1/m, где m – масса ракеты. При этом сохраняется полный импульс: легкий горячий газ с огромной скоростью отбрасывается назад, массивная ракета с малой скоростью летит вперед, т. е. (с учетом знаков) Р1 = – Р2. Мы видим, что относительно неподвижных звёзд выполняется третий закон Ньютона.
Представим теперь, что забыв требование постулата об инерциальной системе отсчета, космонавт ведет наблюдение внутри ракеты, движущейся с ускорением. Космонавт чувствует, что давит на кресло с силой F2 = -am, где m – масса космонавта. Он называет её силой инерции. Но космонавт не работает, не машет крыльями, он просто спит. Космонавт не тратит энергию, в отличие от ракеты, которая сжигает топливо. Он давит на кресло только потому, что кресло толкает его с ускорением. Стоит выключить двигатель, космонавт сразу теряет вес. На кресло он уже не давит, он даже парит в воздухе. В этом сущность «силы» инерции. За ней не стоит источник энергии, работать она никогда не будет.
Следует заметить, для некоторых задач уравнения движения имеет более простой вид, если их записать относительно неинерциальной системы отсчёта. Для упрощения расчётов можно пойти на этот шаг, но никогда нельзя забывать, что это чисто математический приём, а «сила инерции» существует только на бумаге.
Четвёртым законом Ньютона является закон всемирного тяготения: F = GMm/R2. Жаль, что в классической механике этот закон не имеет порядкового номера. Это настоящий природный закон, он показывает, что гравитация существует вокруг любого массивного тела. Для поля тяготения Земли закон всемирного тяготения имеет вид: P = mg. Мы с удовольствием поставили бы этот закон на второе место, но оно уже занято.
Возникает вопрос: зачем нужны законы Ньютона? Дело в том, что человек превращает энергию в полезную работу при помощи машин и механизмов. Машиной называют устройство для преобразования энергии любого вида в механическую работу. В составе любой машины имеются механизмы. Механизм – это устройство для преобразования движения одного вида в другое. Например, подъёмный кран – это машина с электродвигателем, который превращает энергию электричества в механическую работу. Кран оборудован лебёдкой. Лебёдка – это механизм для преобразования вращения вала электродвигателя в поступательное движение каната с захватом для груза. Чтобы успешно строить машины и механизмы, надо хорошо знать законы механики.
Работа в физике
Чаще всего энергию передают от одного тела другому при помощи специального рабочего тела (механизма). Говорят, что при этом рабочее тело выполняет работу. В идеальном случае механизм передает энергию без потерь. В реальном мире всегда существуют потери энергии. Это означает, что источник отдаёт больше энергии, чем получает приемник.
Работу принято обозначать символом А.
Механическую работу определяют как произведение силы на перемещение: A = Fs (12.1). Значит, работа измеряется в джоулях: [A] = [Fs] = [Нм] = Дж. Энергия тоже измеряется в джоулях, но между энергией и работой мало общего. Энергия – это природная величина, которой обладает любое тело. Энергию можно запасать. Например, дамоклов меч можно подвесить и он будет иметь запас потенциальной энергии. В отличие от энергии, работа всегда связана с движением. Представим, ракетный двигатель испытывают на стенде. Сила тяги действует, но перемещение равно нулю, ведь стенд неподвижен. Из (12.1) следует, что работа тоже равна нулю, хотя прибор может показать, что двигатель развивает силу тяги F = 10 кН. В чём тут смысл? Особого смысла нет, просто принято считать, что работа равна энергии, отданной источником другому телу, например, стенду. Но у стенда не изменяется ни потенциальная энергия, ни кинетическая. Стенд не приобрел ничего, следовательно, работа A=Fs тоже равна нулю. В этом смысле можно написать: А = Е.
Рассмотрим как энергия поля гравитации переходит в механическую работу на примере часов «с кукушкой». Чтобы завести часы с кукушкой, надо поднять гирю на цепи. Допустим, вес гири равен 6 Н, а длина цепи – 0.5 м. Значит, заводя часы, мы совершили работу А = Fs = Ph = 6*0.5 = 3 (Дж). Эта работа превратилась в потенциальную энергию гири: Е = А. Вес гири Р направлен вниз. Вес – это сила, которая вращает стрелки часов. Пока гиря опускается, часы работают. При этом гравитационная энергия гири преобразуется в работу механических часов. Примерно через сутки гиря опустится на всю длину цепи и часы остановятся. Энергия, равная 3 Дж, полностью израсходована. В основном она потрачена на преодоление трения в часах. Трение приводит к нагреванию. Хотя три джоуля – энергия небольшая, в комнате с работающими часами должно быть немного теплее, чем в комнате без часов.
Для оценки производительности машин и приборов используют понятие мощности, которую чаще обозначают буквой Р (от английского power – мощность). Мощность машины численно равна механической работе, выполненной за одну секунду: P = A/t (12.2). Можно было бы измерять мощность просто в джоулях за секунду. Но для неё ввели специальную единицу ватт (Вт). Таким образом: 1 Вт = 1 Дж/с. Мощность устройства это важная характеристика, её указывают в техническом паспорте изделия. К примеру, на цоколе электролампы написано: «220 В, 95 Вт». Лампа «горела» в течение часа. Вопрос: какое количество электроэнергии было израсходовано? Решение: E = A = Pt. E = 95*3600 = 342000 (Вт*с) (12.3). Число получилось неудобно большим. Для повышения удобства в технике электроэнергию считают в кВт*часах. Для этого результат (12.3) нужно разделить на 3600 (число секунд в 1 часе) и на 1000 (число ватт в 1 киловатте). В итоге получаем Е = 0.095 кВт*час. Это небольшая величина, меньше рубля в денежном эквиваленте. Следует сказать, Россия богата энергетическими ресурсами.
Строго говоря, не вся затраченная энергия превращается в полезную работу. Какая-то часть расходуется на трение, на перемагничивание и тому подобное. Для оценки совершенства машины вводят понятие коэффициента полезного действия, сокращённо КПД. Его определяют по формуле: КПД = 100 %*А/Е, где А – полезная работа, равная переданной энергии, Е – затраченная энергия. Таким образом, КПД измеряют в процентах. К примеру, если в лампе накаливания 80 % энергии уходит на тепло, а только 20 % – на освещение, значит, КПД лампы, как осветительного прибора, равен 20 %. Это невысокий КПД. Но если эту лампу использовать в качестве нагревателя в инкубаторе для цыплят, её КПД будет равен 80 %. Это нормальный КПД.
Глава 2. Движение тел
Вращение тел
Тело, в отличие от частицы, имеет видимые размеры. Поэтому его вращением пренебрегать нельзя. Вращение придаёт телу энергию, дополнительную к энергии поступательного движения. Эта энергия была получена от внешнего источника, закрутившего тело вокруг оси. Возьмём, к примеру, особое вращение бумеранга. Его не объяснить вторым законом Ньютона, который описывает поступательное движение тел (без вращения).
Если в качестве тела отсчета (см. § 10) взять вращающееся тело, например, карусель с подвесными люльками, в уравнении второго закона Ньютона придется ввести дополнительную силу, отвечающую за отклонение подвеса люлек от вертикали. Известны попытки, когда некоторые авторы пытались использовать эту «даровую» центробежную силу инерции в устройствах типа инерцоид. Разумеется, у них ничего не получалось. Система отсчёта, которая движется с ускорением, не является инерциальной. В такой системе возникают фиктивные силы вроде центробежной силы инерции, силы противодействия и т. п. Это происходит потому, что в неинерциальной системе отсчета не выполняются законы Ньютона. Следует подчеркнуть, что фиктивные силы существуют только на бумаге, работать они не могут. Представим на секунду, что в классическом опыте для демонстрации ускорения рабочий устал и убрал руки с тележки. Разве «сила противодействия» откатит тележку назад? Нет, тележка покатится дальше по инерции, согласно первому закону Ньютона.
Вращение имеет особое значение в технике, так как все машины имеют вращающиеся части. Уравнения, связывающие вращательную энергию тела с частотой вращения, помогают конструкторам подобрать наилучшее сочетание размеров и скоростей вращения деталей машин. Следует сказать, что существует соблазн принять за тело отсчёта вращающийся корпус машины. Ещё бы! При таком приёме уравнения движения будут иметь самый простой вид. Но выполняется ли при этом первый закон Ньютона? Разумеется, нет. Законы Ньютона верны относительно инерциальной системы отсчёта, которая должна перемещаться прямолинейно и равномерно. Но вращение не является прямолинейным движением. К примеру, если взять за тело отсчёта Землю, то возникает иллюзия вращения небесного свода вокруг неё. Можно сложить массы всех звёзд и умножить на квадрат скорости вращения небосвода. Получится колоссальная энергия! Жаль, что она существует только на бумаге. Стоит вылететь в открытый космос, как всё встаёт на свои места. Солнце и звёзды неподвижны, вращается сама Земля, а вечный источник даровой энергии остаётся бумажной фикцией. Таким образом, если использовать неинерциальную систему, в ней появляются фиктивные силы. С другой стороны, если этот математический прием поможет упростить расчеты, его, наверное, можно использовать, не забывая о фиктивности сил инерции. Базисом для нас по-прежнему будет энергия.
Движение по окружности
Простейшим видом вращения является движение тела по окружности с постоянной скоростью. Представим себе центрифугу для тренировки космонавтов. Она содержит кабинку, закрепленную на рычаге, который может вращаться в горизонтальной плоскости, сначала медленно, затем быстрее. Посадим космонавта в кабинку и запустим центрифугу. Мы увидим через телекамеру, что космонавта вдавила в кресло сила инерции (см. § 11). В системе отсчёта, связанной с центрифугой, эта сила направлена вдоль рычага по радиусу от центра вращения кабины. Её называют центробежной силой инерции Fцб. Эта сила считается силой противодействия. В примере с тележкой сила инерции противодействовала ускоряющей силе. Значит, при вращении центробежная сила противодействует какой-то ускоряющей силе, устремленной к центру вращения. Назовем её центростремительной силой Fцс. По определению, Fцс = Fцб (14.1). Очевидно, сила Fцс – это сила связи, которая удерживает кабинку на круговой орбите. Её источник – рычаг центрифуги, связанный с электромотором. Попробуем найти уравнение, связывающее силу Fцс со скоростью v кабинки при её вращении по окружности радиуса R. Применим, как обычно, наш энергетический подход: E = А = Fs (14.2).
Центростремительная сила Fцс характеризует работу А электромотора, который передает энергию Е через рычаг кабинке. Применяя уравнение (14.2) к вращению центрифуги, мы должны учесть, что сила Fцс зависит от радиуса вращения. Известно, что при вращении карусели центробежная сила в центре равна нулю, а на краю карусели она максимальна. Если путь s от центра до окружности равен R, значит, нужно взять среднее значение силы: F = Fцс/2. Подставляя данные в уравнение (14.2), получаем уравнение вращения: E = Fцс*R/2 (14.3). С другой стороны, Е = А= Рt, где Р – мощность электродвигателя. Работа электродвигателя преобразуется в кинетическую энергию кабинки Ек = mv2/2 (14.4). Очевидно, эти величины равны, так как одна переходит в другую: Е = Ек. Приравняем их: Fцс*R/2 = mv2/2. Решая относительно Fцс, получаем искомое уравнение: Fцс = mv2/R (14.5).
Из (14.5) легко получить формулу для центростремительного ускорения ацс. По второму закону: Fцс = mацс. Подставляя в (14.5), получаем: mацс = mv2/R. Отсюда: ацс = v2/R (14.6).
Проектируем центрифугу
Применяя теорию к практике, попробуем спроектировать центрифугу для тренировки космонавтов. Примем исходные данные: площадь квадратного зала: 144 м2, масса кабинки вместе с человеком 150 кг, максимальная допустимая перегрузка: 10 g.
Заметим, что ускорение ацс для центрифуги принято измерять в g, которое равно примерно 10 м/с2. Так удобнее для тренера. Зная вес курсанта, он сразу видит, во сколько раз увеличивается нагрузка на кресло центрифуги. В исходном положении нагрузка равна весу курсанта. При вращении вес курсанта увеличивается пропорционально ускорению ацс. Соответственно на кресло действует дополнительный вес, который и называют перегрузкой.
Если пол зала квадратный, значит, сторона пола равна 12 м. Вдоль стен нужно оставить зазор не менее 1.5 м (для вылета кабинки при отклонении). Для центрифуги остается квадрат 9х9 м2. Значит, длина рычага должна быть не более 4.5 м. Отдадим 0.3 м для закрепления основания рычага на оси электродвигателя, а 0.2 м – для закрепления кабинки. Значит, расстояние между точками крепления будет равно 4 м. Это и есть радиус вращения R. В итоге, исходные данные таковы: радиус R = 4 м, масса m = 150 кг, максимальное ускорение ацс = 100 м/с2.
Решение. Перегрузка получается при соответствующей скорости v, которую принято называть линейной (окружность, хотя и кривая, но линия), из (14.6): ацс = v2/R, откуда v2 = Rацс (15.1). Скорость v обеспечивает электромотор, развивая мощность P = E/t. Центрифуга преобразует энергию мотора Е = Pt в кинетическую энергию кабинки Ек = mv2/2.
Чтобы выразить энергию через известные величины, умножим (15.1) на v2/2. Получаем: Ек=mv2/2 =mRацс/2 (15.2). В правой части (15.2) сгруппированы исходные данные проекта. Подставляя их значения, получим: Ек = 150*4*100/2 = 30000 Дж (15.3). В (15.3) величина 4х100 есть не что иное, как v2. Отсюда v = √ 400 = 20 м/с. Это приличная скорость. Если её развить за секунду, то ускорение будет чрезмерно большим. Кроме того, мотор с мощностью 30 кВт стоит слишком дорого. Практичнее будет, если на предельный режим v=20 м/с кабина с курсантом будет выходить секунд за 10. Для курсанта это будет безопаснее, а для заказчика – экономнее по затратам. Значит, для проекта достаточно мотора с мощностью P=E/t=30/10=3 (кВт). Полученные данные следует передать инженеру по оборудованию, чтобы он подобрал подходящий электромотор с мощностью до 3 кВт и регулируемой частотой вращения до 50 об/мин.
Следует подчеркнуть, что в стандартном учебнике вывод уравнения (14.6), основанный на понятии силы как вектора, занимает три страницы, не считая вводной главы по векторной алгебре. Применяя энергетический подход, мы получили результат в шесть раз быстрее. При этом векторная алгебра, не всегда понятная, нам не понадобилась.
Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 289; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!