Расчет статически неопределимой стержневой системы при многофакторном воздействии

Исходные данные и условие задачи

Для заданной статически неопределимой стержневой системы, изображенной на рисунке 13, требуется:

- Определить площади поперечных сечений заданных стержней из расчёта на прочность при совместном воздействии на стержневую систему заданной нагрузки, изменения температуры и заданной неточности изготовления стержней.

- Определить продольные силы и нормальные напряжения в сечениях стержней при многофакторном воздействии.

Для расчета принять:

R =160МПа;

n =1,5;

град^-1;

;

см;

;

A₁= A₅; A₂= A₄;

F = 50 кН;

a = 0,5 м;

h = 0,2 м;

МПа.

Решение задачи

Статическая сторона задачи

Из симметрии системы относительно вертикальной оси следует, что N₁= N₅ и N₂= N₄, следовательно, имеются две неизвестных величины: N₁ и N₂. Для нахождения этих величин необходимо рассмотреть равновесие отсечённого узла О (рис. 14). Для плоской системы сил N₁, N₂, N₄, N₅и F , сходящейся в одной точке, можно составить два независимых уравнения равновесия. Если же система симметрична относительно вертикальной оси Оу, то остаётся одно независимое уравнение:

; .

Далее вычисляем

; .

Подставив значения тригонометрических функций углов и в уравнение статики, получаем:

. (6.1)

Так как рассмотрение статической стороны задачи даёт одно уравнение с двумя неизвестными, то задача является статически неопределимой.

Геометрическая сторона задачи

Рассмотрим какое-либо малое перемещение узла О, не нарушающее симметрии стержневой системы (рис. 15). Очевидно, что ввиду симметрии системы это вертикальное малое перемещение. Так как стержни 1, 2, 4 и 5 остаются соединёнными в узле О, а вторые концы этих стержней неподвижны, то их удлинения можно связать математическим выражением. Вследствие малости перемещения новое положение стержня практически является параллельным исходному положению.

; ;

. (6.2)

Здесь знак «минус» учитывает, что один из стержней системы растягивается, а другой - сжимается.

Следует отметить, что точка О является проектным положением узла при отсутствии силы F, точном изготовлении всех стержней и предполагаемой температуре монтажа. Точка соответствует положению узла О при нагружении системы заданной силой F, при действии температурного перепада и неточности изготовления ее отдельных элементов.

Физическая сторона задачи

Длина стержня может изменяться под действием следующих трёх факторов: неточности изготовления отдельных элементов, изменения температуры и при действии продольной силы. Удлинение стержня при действии всех этих факторов определяется следующим образом

где - неточность изготовления;

- изменение температуры относительно исходной;

- коэффициент линейного расширения материала стержня;

l - длина стержня;

N - продольная сила;

A - площадь поперечного сечения;

E - модуль продольной упругости материала стержня.

Для стержней рассматриваемой системы имеем:

(6.3)

где м;

м.

Подставляя выражение (6.3) в равенство (6.2) получаем:

. (6.4)

После численной подстановки заданных величин имеем:

После некоторых упрощений получим:

. (6.5)

Уравнения (6.1) и (6.5) представляют собой систему из двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Здесь А₂ является некоторым параметром, который мы определим позже.

Чтобы решить систему, выразим N ₁ из (6.1):

N₁=67295+1,4926N₂.

Подставим это выражение в уравнение (6.5)

Отсюда получаем:

(6.6)

Для вычисления требуемой площади поперечного сечения А₂ необходимо воспользоваться условием прочности:

(6.7)

Из данной системы следует, что во всех стержнях нормальные напряжения по модулю не должны превышать величины расчётного сопротивления материала стержня.

Чтобы воспользоваться условиями прочности, вычислим напряжения по известным из (6.6) продольным силам.

;

Подставим найденные значения в систему неравенств (6.7)

Из первого неравенства системы получаем м².

Второе неравенство системы (6.7) распадается на два неравенства:

т.к. в заданной задаче отрицательная площадь невозможна.

м².

Окончательно имеем следующую систему неравенств, эквивалентную исходной системе (6.7), т.е. условиям прочности:

Очевидно, что система (6.7) эквивалентна неравенству . Окончательно принимаем .

Выполняем проверку полученного решения, для чего следует установить, выполняются ли условия прочности (6.7), уравнения равновесия (6.1) и геометрическое соотношение (6.2) с учётом физических соотношений (6.3).

Вначале вычислим N₁ и N₂ по формулам (6.6):

Н кН;